Yarimo'tkazgichlarda elektron va kovaklar statistikasi

Yarimo'tkazgichlarda elektron va kovaklar statistikasi

Muvozanat jarayonlari - tashqi ta'sirga duchor bo'lmagan jismlarda sodir bo'ladigan jarayonlar. Berilgan kristall namunasi uchun ma'lum haroratda termodinamik muvozanat holatida elektronlar va teshiklarning ma'lum energiya taqsimoti, shuningdek ularning konsentratsiyasi mavjud. Katta va kichik zaryad tashuvchilarning kontsentratsiyasini hisoblash elektronlar va kristallardagi teshiklar statistikasining asosiy muammosidir.

Ko'rib chiqilayotgan muammo ikki qismga bo'linadi: sof kvant-mexanik - elektronlarning mumkin bo'lgan kvant holatlari sonini topish va statistik - termodinamik muvozanatda elektronlarning ushbu kvant holatlari bo'yicha haqiqiy taqsimlanishini aniqlash.
6.1. Kvant holatlarining bandlarda taqsimlanishi
Ideal kristalldagi elektronning statsionar holatlari kvazimmentum p bilan tavsiflanadi. Keling, kvazimomenta dp_x, dp_y и dp_z uchun Geyzenbergning bir jinslilik printsipini yozamiz:

Biz bu nisbatlarning chap va o'ng qismlarini mos ravishda ko'paytiramiz. Oling


va bu yerda va , ya'ni dp - kvazi impulsli fazodagi px, py, pz, ya'ni Brilyuen zonasi ichidagi qandaydir hajm, dV esa yarimo'tkazgich ichidagi qandaydir hajm. Bunday holda, dV hajmi cheksiz kichik miqdor bo'lishi shart emas. Bu ham yakuniy bo'lishi mumkin. Zaryad tashuvchilarning kontsentratsiyasini hisoblash uchun (ya'ni yarimo'tkazgichning birlik hajmiga to'g'ri keladigan tashuvchilar soni) biz kristall ichidagi birlik hajm dV = 1 sm3 ni ajratamiz. Keyin (1.2) dan dp ≤ h3 ni olamiz. Ya'ni, Brillouen zonasidagi dp = h3 hajmining ichida faqat bitta kvant holati sodir bo'lishi mumkin, go'yo bu hajm bo'ylab surtilgan. Shunday qilib, h3 - Briluen zonasidagi bitta "kvartira" ning hajmi, unda har xil spinli faqat ikkita elektron joylashtirilishi mumkin va undan ortiq emas. Shuning uchun Brilyuen zonasidagi dp hajm elementiga mos keladigan va kristall hajmining birligiga hisoblangan kvant holatlari soni dp/h3 ga teng, ya'ni dp hajmdagi "tekislar" soni. O'tkazuvchanlik zonasi elektronlar bilan to'ldirilganda, birinchi navbatda eng past darajalar to'ldiriladi. O'tkazuvchanlik zonasi energiyaga nisbatan bir o'lchovli (1.3a-rasm). Briluen zonasi uch o'lchovli (px, py, pz) (1.3b-rasm). Brillouen zonasini to'ldirish kvazi-momentum p ning eng kichik qiymatlaridan boshlanadi. Shuning uchun, dp sifatida, ikkita juda yaqin izoenergetik sirt orasiga o'ralgan hajm elementini tanlash kerak (1.3b-rasmga qarang). Radiusi p va qalinligi dp bo'lgan bu yupqa sharsimon qatlam ichida kvant holatlar soni quyidagicha bo'ladi:


Kvant holatlarining zichligini hisoblash diagrammasi:
a - o'tkazuvchanlik zonasida elektron energiya taqsimoti;
b - Shtatlarning zichligini hisoblash uchun Brillouen zonasi

Kristalning hajmi birligiga hisoblangan E dan E+dE gacha bo‘lgan tor energiya diapazonida o‘tkazuvchanlik zonasidagi kvant holatlar sonini aniqlaymiz. U N (E) dE sifatida ifodalanishi mumkin, bu erda N (E) - holatlarning zichligi.

Izotrop parabolik dispersiya qonuni holati uchun o'tkazuvchanlik zonasining pastki qismiga yaqin elektron energiyasi

bu erda EC - o'tkazuvchanlik zonasining pastki qismiga mos keladigan energiya. Qulaylik uchun samarali elektron massasi mn yulduzchasiz yoziladi. (1.4) dan biz olamiz ya'ni Biz (1.3) ni almashtiramiz, bizda bor

Bu yerdan

Valentlik zonasi uchun ham xuddi shunday formula olinadi, lekin (E - EC) o'rniga biz (EV - E) va mn o'rniga - teshikning samarali massasini yozamiz mp.
(1.6) dan ko'rinib turibdiki, kvant holatlarining zichligi o'tkazuvchanlik zonasining pastki qismidan masofa bilan ortadi.

6.2. Zaryad tashuvchining kontsentratsiyasi va Fermi darajasining holati

Yarim butun spinli zarralar sifatida elektronlar Fermi-Dirak statistikasiga bo'ysunadi. Elektronning energiya E bilan kvant holatda bo'lish ehtimoli Fermi-Dirak funktsiyasi bilan ifodalanadi:

Bu erda F - elektrokimyoviy potentsial yoki Fermi darajasi. (1.7) dan ko'rinib turibdiki, Fermi darajasini shunday kvant holatining energiyasi sifatida aniqlash mumkin, to'ldirish ehtimoli 1/2 ga teng.
Fermi-Dirak funksiyasining shakli sxematik tarzda 1.4-rasmda ko'rsatilgan. T = 0 da u uzluksiz funktsiya ko'rinishiga ega. E < F uchun u 1 ga teng, ya'ni E < F dagi barcha kvant holatlar elektronlar bilan to'ldirilgan. E > F uchun f = 0 funksiya va mos keladigan kvant holatlari butunlay bo'sh. T > 0 da Fermi funktsiyasi uzluksiz egri chiziq shaklida va tor energiya diapazonida bir necha kT tartibida E = F nuqtaga yaqin joyda 1 dan 0 gacha tez o'zgaradi. Fermi funktsiyasi qanchalik katta bo'lsa, harorat shunchalik yuqori bo'ladi.

N(E) o’tkazuvchanlik zonasidagi holatlar zichligining taqsimlanish funksiyasi, Fermi-Dirak funksiyalari f va Boltsman fB.

Turli statistik miqdorlarni hisoblash juda soddalashtirilgan bo'lsa, Fermi darajasi F energiya tasmasi bo'shlig'ida yotsa va EK bandining chetidan kamida 2kT uzoqlikda bo'lsa (ba'zi darsliklarda ular EC - E > kT deb yozadilar). Keyin taqsimotda (1.7) maxrajdagi birlikni e'tiborsiz qoldirish mumkin va u klassik statistikaning Maksvell-Boltzman taqsimotiga o'tadi. Bu buzuq bo'lmagan yarimo'tkazgichning holati:

O'tkazuvchanlik zonasidagi elektron kontsentratsiyasi:

Biz yozma integralda yuqori chegara sifatida o'tkazuvchanlik zonasining yuqori chetining energiyasini olishimiz kerakligini ta'kidlaymiz. Lekin, E > F energiyalar uchun f funksiya E ortishi bilan eksponent ravishda kamayib borayotganligi sababli, yuqori chegarani cheksizlik bilan almashtirish integralning qiymatini o'zgartirmaydi. (1.6) va (1.8) iboralarni (1.9) ga almashtiramiz. Integralni hisoblash qiyin emas. Oling


NC miqdori o'tkazuvchanlik zonasidagi holatlarning samarali zichligi deb ataladi.
Degenerativ bo'lmagan yarimo'tkazgichda Fermi darajasi valentlik zonasining yuqori qismidan kamida 2kT ga, ya'ni F - EC > 2kT ga (ba'zi darsliklarda F - EC > kT deb yoziladi) yotsa, Fermi -Fp teshiklari uchun Dirac funktsiyasi shaklga ega

va valentlik zonasidagi teshiklarning konsentratsiyasi

bu yerda EV valentlik zonasining yuqori qismiga mos keladigan energiya va mn o‘rniga mp samarali teshik massasini olsak, NV (1.11) tenglama bo‘yicha hisoblanadi. NV qiymati - valentlik zonasidagi holatlarning samarali zichligi.
Biz (1.9) da 2 omil integral oldida paydo bo'lganligini ta'kidlaymiz, bu har bir energiya darajasida qarama-qarshi spinli ikkita elektron joylashishi mumkinligi bilan bog'liq (Pauli printsipi).
(1.10) va (1.13) tenglamalar yordamida n va p ni hisoblash uchun Fermi darajasining F o'rnini bilish kerak. Biroq, degenerativ bo'lmagan yarimo'tkazgich uchun elektron va teshik zichliklarining mahsuloti Fermi darajasiga bog'liq emas, haroratga bog'liq bo'lsa ham:

Bu tenglama n ma'lum bo'lganda p ni hisoblash uchun yoki p ma'lum bo'lganda n ni hisoblash uchun ishlatiladi. Muayyan yarimo'tkazgichlar uchun ma'lum haroratlarda ni qiymati ma'lumotnomalarda keltirilgan.