Yegorov teoremasi Reja: O’lchovli funksiyalar ketma-ketligi 2

1) , ,
Yechish . ketma –ketlikni deyari yaqinlashuvchilikka tekshiramiz
(1)
deb olsak ,

E sanoqli to’plam ekanini ko’rishimiz mumkin . Demak ,
Bundan , ketma-ketlikning funksiyaga deyarli yaqinlashishini ko’ramiz .
Endi shunday to’plamni tanlaylikki ,

Bo’lib to’plamda ketma-ketlik funksiyaga tekis yaqinlashsin .
to’plam nuqtalarning atrofi bo’ladi ( chunki (1) ga ko’ra bu atrofda ketma-ketlikning limiti 0 ga teng emas ).Shuning uchun

Deb olishimiz mumkin.

Shartga ko’ra , ;
Demak , deb tanlashimiz mumkin .

U holda bo’ladi .
Endi bu to’plamda ketma-ketlikning 0 ga tekis yaqinlashuvchi ekanligini ko’rsatamiz.
Tekis yaqinlashuvchilik ta’rifiga ko’ra , son uchun topilib , lar uchun bajarilishi kerak .

ni to’plamdagi eng katta qiymati bilan baholaymiz .
Eng katta qiymatga nuqtada erishadi

Demak , . (2)
Demak bu ketma-ketlik 0 ga tekis yaqinlashuvchi .
2) , ,
Yechish
deb olsak , ketma-ketlik nuqtadan tashqarida 0 ga deyarli yaqinlashuvchi bo’ladi chunki, bitta nuqtadan iborat to’plamning o’lchovi 0 ga teng , ya’ni

Endi bu ketma-ketlik 0 ga tekis yaqinlashuvchi bo’ladigan to’plamni qidiramiz .
to’plam nuqtaning chap atrofi bo’ladi . Chunki bu nuqtada ketma-ketlik limiti 0 ga teng emas .
Shartga ko’ra ,

Demak biz qilib tanlashimiz mumkin . U holda

Bundan ekani kelib chiqadi .
Endi to’plamda ketma-ketlikning 0 ga tekis yaqinlashuvchi ekanini ko’rsatamiz .

x ni to’plamdagi eng katta qiymati bilan baholaymiz .

Demak , bu ketma –ketlik , to’plamda 0 ga tekis yaqinlashuvchi .