Yegorov teoremasi Reja: O’lchovli funksiyalar ketma-ketligi 2

2.Yegorov teoremasi
2-teorema. (Yegorov) chekli o’lchovli to’plamda funksiyalar ketma-ketligi ga deyarli yaqinlashsin . U holda ixtiyoriy uchun shunday to’plam mavjudki , uning uchun quyidagilar o’rinli :
1)
2) to’plamda funksiyalar ketma-ketligi ga tekis yaqinlashadi .
Isbot . 1-teoremaga ko’ra , o’lchovli funksiya bo’ladi . Aytaylik ,

Bo’lsin . to’plamlar barcha va uchun o’lchovli bo’ladi . to’plam tayinlangan va da barcha lar uchun tengsizlikni qanoatlantiruvchi lar to’plamidan iborat . Endi

Bo’lsin . Aniqlanishiga ko’ra to’plamlar har bir da

Munosabatni qanoatlantiradi . O’lchovning uzluksizlik xossasiga ko’ra ,

Yoki har bir va uchun shunday mavjudki ,
(1)
Endi

Bo’lsin . Ko’rsatamizki , to’plam teorema shartlarini qanoatlantiradi . Dastlab,
to’plamda ketma-ketlikning ga tekis yaqinlashishini ko’rsatamiz . Aytaylik , bo’lsin . U holda ixtiyoriy uchun barcha nomerlarda
tengsizlik bajariladi . Bundan to’plamda ketma-ketlikning ga tekis yaqinlashishi kelib chiqadi .
Endi to’plam o’lchovini baholaymiz . Barcha lar uchun Haqiqatan ham , agar bo’lsa , u holda yetarlicha katta lar uchun

ketma-ketlik ga yaqinlashmaydi . Demak , munosabat o’rinli . Bu yerda

Bundan , ga kelamiz . Bu o’z navbatida ga olib keladi . Bu yerdan va (1) dan kelib chiqadiki ,

Bo’ladi . Shuning uchun quyidagi tengsizlik o’rinli

3.Yegorov teoremasidan foydalanib misollar yechish .
ketma-ketlikning deyarli yaqinlashuvchi ekanligini isbotlang . Yegorov teoremasidan foydalanib , berilgan uchun shunday o’lchovli to’plam tanlangki , va ketma-ketlik to’plamda tekis yaqinlashuvchi bo’lsin .