Yo`nalish bo`yicha hosila. Gradient

2.Sath chiziqlari. Yassi skalyar maydon geometrik jihatdan sath chiziqlari yordamida tasvirlanadi.
Ta’rif. Yassi skalyar maydonning sath chizig‘i deb tekislikning shunday nuqtalari to‘plamiga aytiladiki, unda maydon funksiyasi o‘zgarmas qiymatga ega bo‘ladi.
Bu chiziqlar

tenglama bilan aniqlanadi, bunda - o‘zgarmas son.

X

Y

ga turli qiymatlar berib, sath chiziqlari oilasini hosil qilamiz. Bu chiziqlarda skalyar funksiya doimiy bo‘lib qoladi. Agar, masalan, skalyar maydonlar funksiya bilan berilgan bo‘lsa, ular uchun sath chiziqlari vazifasini konsentrik aylanalar oilasi bajaradi.

6-chizma.

Berilgan yo‘nalish bo‘yicha hosila.
Skalyar maydonning muhim tushunchasi berilgan yo‘nalish bo‘yicha hosiladir. Faraz qilaylik, skalyar maydonning differensiallanuvchi funksiya berilgan bo‘lsin.
Bu maydondagi biror nuqtani va shu nuqtadan chiquvchi biror nurni qaraymiz. Bu nurning o‘qlari bilan tashkil qilgan burchaklarini orqali belgilaymiz. Agar birlik vektor bu nur bo‘yicha yo‘nalgan bo‘lsa, u holda qo‘yidagiga ega bo‘lamiz:
.
Faraz qilaylik, biror nuqta shu nurda yotgan bo‘lsin. va nuqtalar orasidagi masofani bilan belgilaymiz: . Skalyar maydon funksiyasi qiymatlari ayirmasini shu funksiyaning yo‘nalishda shu nuqtalardagi ortirmasi deb ataymiz va bilan belgilaymiz. U holda

yoki
.
Ta’rif. funksiyalarning yo‘nalish bo‘yicha nuqtadagi hosilasi deb

limitga aytiladi, bu limit tarzida belgilanadi. Shunday qilib,

Agar nuqta tayinlangan bo‘lsa, u holda hosilaning kattaligi faqat nurning yo‘nalishigagina bog‘liq bo‘ladi.
yo‘nalish bo‘yicha hosila xususiy hosilalarga o‘xshash funksiyaning mazkur yo‘nalishdagi o‘zgarish tezligini xarakterlaydi. Hosilaning yo‘nalish bo‘yicha absolyut miqdori tezlikning kattaligini aniqlaydi, hosilaning ishorasi esa funksiya o‘zgarishining xarakterini aniqlaydi: agar bo‘lsa, u holda funksiya bu yo‘nalishda o‘sadi, agar bo‘lsa, kamayadi.
Berilgan yo‘nalish bo‘yicha hosilani hisoblash quyidagi teorema yordamida amalga oshiriladi.
Teorema. Agar funksiya differensiallanuvchi bo‘lsa, u holda uning ixtiyoriy yo‘nalish bo‘yicha hosilasi mavjud va quyidagiga teng:

bu yerda vektorning yo‘naltiruvchi kosinuslari.
Isboti. funksiya teoremaning shartiga ko‘ra differensiallanuvchi bo‘lsa, u holda uning y,z)tadagi ortirmasini
(53)
ko‘rinishda yozish mumkin, bunda kattalik ga nisbatan yuqori tartibli cheksiz kichik miqdor, ya’ni .
Agar funksiya ortirmasi vektor yo‘nalishidagi nur bo‘ylab qaralsa, u holda


bo‘lishi ravshan. U holda (1) tenglik bunday ko‘rinishni oladi:
.
Tenglikning ikkala qismini ga bo‘lamiz va 0da limitga o‘tamiz. Natijada
, (53)
Chunki
,
xususiy hosilalar va yo‘naltiruvchi kosinuslar ga bog‘liq bo‘lmaydi.
Shunday qilib, teorema isbotlandi. (2) formulada, agar yo‘nalish koordinatalar o‘qining yo‘nalishlaridan biri bilan bir xil bo‘lsa, u holda bu yo‘nalish bo‘yicha hosila tegishli xususiy hosilaga teng, masalan, agar bo‘lsa, u holda 0, β=γ=π/2 bo‘ladi, shuning uchun va binobarin,

(2) formuladan ko‘rinadiki, yo‘nalishga qarama-qarshi yo‘nalish bo‘yicha hosila yo‘nalish bo‘yicha teskari ishora bilan olingan hosilaga teng.
Haqiqatan bunda, β, γhaklar ga o‘zgarishi kerak, natijada quyidagini hosil qilamiz:


Bu yo‘nalish qarama-qarshisiga o‘zgarganda funksiyaning o‘zgarish tezligining absolyut miqdori o‘zgarmaydi, uning faqat yo‘nalishi o‘zgaradi xolos.
Agar, masalan, yo‘nalishda funksiya o‘ssa, u holda qarama-qarshi yo‘nalishda u kamayadi va aksincha.
Agar maydon tekis bo‘lsa, u holda nurning yo‘nalishi uning absissalar o‘qiga og‘ish burchagi bilan to‘la aniqlanadi. yo‘nalish bo‘yicha hosila uchun formulani tekis maydon holida (2) formuladan olish mumkin, bunda

deb olinadi. U holda
.