Yo`nalish bo`yicha hosila. Gradient

Sirt orqali o‘tadigan vektor maydon oqimi. Uning tezliklar
maydonidagi fizik ma’nosi.
Faraz qilaylik, fazoning sohasida

vektor maydon berilgan bo‘lsin, bu yerda shu sohada uzluksiz bo‘lgan funksiyalar.
Bu sohada orientirlangan sirtni olamiz, uning har bir nuqtasida normalning musbat yo‘nalishi

birlik vektor orqali aniqlansin, bu yerda normal ning koordinatalar o‘qlari bilan tashkil qilgan burchaklari.
Ta’rif. vektorning sirt orqali o‘tuvchi oqimi deb quyidagi ikkinchi tur integraliga aytiladi:

(8) formulani

ko‘rinishda yoki yanada soddaroq

ko‘rinishda yozish mumkin, chunki Bu yerda ifoda sirt yuzining elementi. (60) formula vektorning oqimini vektor yozuvida ifodalaydi.
Vektor maydon oqimining fizik ma’nosini aniqlaymiz. Faraz qilaylik, vektor oqayotgan suyuqlikning tezliklari maydonini orqali aniqlasin. Bu tezlik vektori har bir nuqtada suyuqlik zarrachasi intilayotgan yo‘nalish, vektor chiziqlari esa suyuqlikning oqim chiziqlari bo‘ladi (8-chizma).



8-chizma. 9-chizma.


sirt orqali vaqt birligi ichida oqib o‘tadigan suyuqlik miqdorini hisoblaymiz. Buning uchun sirtda nuqtani va sirtning elementini qayd qilamiz.
Vaqt birligida bu element orqali oqib o‘tgan suyuqlik miqdori asosi va yasovchisi bo‘lgan silindrning hajmi bilan aniqlanadi. Bu silindrning balandligi uning yasovchisini normal birlik vektoriga proeksiyalash yo‘li bilan hosil qilinadi. shuning uchun silindrning hajmi

kattalikka teng bo‘ladi. Vaqt birligi ichida butun sirt bo‘yicha oqib o‘tgan suyuqlikning to‘liq hajmi yoki suyuqlik miqdori bo‘yicha integrallash natijasida hosil bo‘ladi:

Bu natijani (60) formula bilan taqqoslab, bunday xulosa chiqaramiz: sirt orqali o‘tayotgan tezlik vektori oqimi shu sirt orqali vaqt birligi ichida sirt orientatsiyalangan yo‘nalishda oqib o‘tgan suyuqlik miqdoridir. Bektorlar oqimining fizik ma’nosi ana shundan iborat. sirt fazoning biror sohasini chegaralovchi yopiq sirt bo‘lgan hol ayniqsa katta qiziqish o‘yg‘otadi. Bu holda normal vektorini doim fazoning tashqi qismiga yo‘naltirishga shartlashib olamiz (4-chizma). Normal tomoniga qarab harakat sirtning tegishli joyida suyuqlik sohadan oqib chiqishini anglatadi, normalning qarama-qarshi tomoniga qarab harakat esa suyuqlik sirtning tegishli joyida shu sohaga oqib kirishini anglatadi. yopiq sirt bo‘yicha olingan integralning o‘zi esa

ko‘rinishda belgilanadi va sirtdan oqib chiqayotgan suyuqlik bilan unga oqib kirayotgan suyuqlik orasidagi farqni beradi. Bunda, agar bo‘lsa, sohaga undan qancha suyuqlik oqib chiqib ketsa, shuncha suyuqlik oqib kiradi.
Agar bo‘lsa, u holda sohadan unga oqib kiradigan suyuqlikdan ko‘proq suv oqib chiqadi.
Agar bo‘lsa, bu hol qurdum (stok)lar borligini ko‘rsatadi, ya’ni suyuqlik oqimdan uzoqlashadigan joylar borligini ko‘rsatadi (masalan, bug‘lanadi). Shunday qilib, integral manbalarning va qurdumlarning umumiy quvvatini beradi.