Yunalishi. Mavzu: Geperbolik sistemalar uchun Laks ayirmali sxemasi

O‘zbеkiston Rеspublikasi

Oliy va o‘rta maxsus ta‘lim vazirligi

Mirzo Ulug’bek nomidagi O’zbekiston Milliy Universiteti

Matematika fakultiti Matematik modellashtirish va sonli usullar yunalishi.
Mavzu:Geperbolik sistemalar uchun Laks ayirmali sxemasi.






BAJARDI: Boynazarov O.

TEKSHIRDI: Xudoyberganov M.

Toshkent 2019 yil.

Mavzu:Geperbolik sistemalar uchun Laks ayirmali sxemasi.
Reja:
1. Giperbolik sistemalar nazariyasidan ayrim ma’lumotlar

2. Laks sxemasi.

3. Laks-Vendrof sxemasi.

4. Laks sxemasiga programma.

Birichi tartibli chiziqli differensial tenglamalar sistemasiga doir Koshi masalasini ko’raylik

(1)

bu yerda - m – o’lchamli x, t o’zgaruvchilarning vektor – funksiyasi, A – haqiqiy o’lchamli elementlardan tashkil topgan matrisa.

Ta’rif. (1.1) tenglamalar sistemasini qandaydir (x,t) sohada giperbolik deymiz, agar shu sohaning har bir nuqtasida A matrisaning hos qiymatlari haqiqiy va har xil bo’lsa.

Ta’rif.

(2)

Oddiy differensial tenglamaning integral egri chizig’i (1) tenglamalar sistemasining k – xarakteristikasi deyiladi.

A matrisaning elementlari, (x,t) tekislikning har bir nuqtasidan yagona, xususiy qiymatli xarakteristika, o’tadigan darajada yetarli silliq deb tahmin qilinadi. nuqtalardan o’tuvchi t vaqt kamayib borgan tomonga qaratilgan xarakteristikalar, Ox o’qni turli m nuqtalarda kesib o’tadi. (1) giporbolik sistemaning hos qiymatlarini tartiblaymiz va orqali Ox o’qni belgilaymiz, bu o’q nuqtalari birinchi va m - xarakteristikalar kesishmasida chegaralangan.

Ta’rif. (1.1) tenglamalar sistemasidagi (x,t) nuqtaning bog’liq sohasi deb, chegaraviy xarakteristika va kesmada chegaralangan, yuqori yarimtekislikdagi nuqtalar to’plamiga aytiladi.

(x, t) nuqtaning bog’liq sohasi 1-a rasmda ko’rsatilgan. (x, t) nuqtadagi (1) sistemaning u yechimi faqat kesmadagi u₀(x) ning qiymatiga bog’liq bo’ladi. Demak, agar kesmada bo’lmagan boshlang’ich berilganlarni o’zgartirsak (x, t) nuqtadagi yechim o’zgarmaydi.

Ta’rif. (x₀, 0) nuqtaning ta’sir qilish sohasi deb, (1) sistemaning chegaraviy xarakteristikalari bilan chegaralangan va (x₀, 0) dan chiquvchi, ya’ni xos qiymatlariga mos keluvchi yuqori yarimtekislikdagi (x, t) nuqtalar to’plamiga aytiladi.

nuqtaning ta’sir doirasi 1-b rasmda ko’rsatilgan.Agar dastlabki qiymatlar faqatgina nuqtada o'zgartirilsa, u holda giperbolik sistemaning yechimi faqatgina nuqtaning ta’sir doirasiga kiruvchi nuqtada o’zgaradi.

Faraz qilaylik, bizga (1.1) Koshi masalasining o’rniga, oraliqda boshlang’ich-chegaraviy masalani yechish kerak bo’lsin. Unda boshlang’ich shartlarga qo’shimcha tarzda chegaraviy shartlar qo’yish zarur. Har bir chegarada qo’yilgan chegaraviy shartlar soni sohaning ichiga kiradigan xarakteristikalar soni bilan aniqlanadi. Misol uchun, agar chap chegaradan sohaning ichiga ta xarakteristika kirsa, ya’ni da ning ta xos soni musbat bo’lsa bu chegarada ta chegaraviy shartlar qo’yish kerak. Agar chegarada manfiy xos sonlar ta bo’lsa ya’ni aynan shuncha xarakteristikalar o’ng chegaradan kirsa, unda bu chegarada ta chegaraviy shart qo’yish kerar. Xos sonlar vaqtga bog’liq bo’lganligi uchun, chegaraviy shartlar miqdori har bir chegarada vaqt o’zgarishi bilan o’zgarib turishi mumkin.

1-rasm. tenglamalar sistemasining xarakteristkalari (a) nuqta bog’liqligining (b) nuqta ta’sirining chegaraviy sohalari.

Endi bir jinsli o’zgarmas koeffitsientli giperbolik tenglamalar sistemasi (1) ni ko’rib chiqamiz. Muntazam matritsa uchun uning xos vektorlari va xos sonlari o’zgarmas bo’ladi, ya’ni x va t ga bog’liq bo’lmaydi.

Aytaylik - A matritsaning xos soni ga mos keluvchi k-chap xos vektori bo’lsin. (1.1) sistemani chap tomondan ga ko’paytiramiz:

Bu tenglamani quyidagi ko’rinishda yozish mumkin

yoki

(3)

bu yerda

(4)

tenglamaning yechimi xarakteristika bo’ylab o’zgarmaydi va shuning uchun t>0 bo’lganda ning boshlang’ich qiymati xarakteristika o’qi bilan kesishgan nuqtada hisoblanadi: