Yunalishi. Mavzu: Geperbolik sistemalar uchun Laks ayirmali sxemasi

1.5. Laks sxemasi. Qulay bayon qilish uchun, keyinchalik, bir jinsli ko’chish tenglamasi uchun

boshlang’ich-chegaraviy masalani quyidagicha ifodalaymiz

(5)

Laks sxemasida ko’chish tenglamasini approksimatsiya qiluvchi ayirmali tenglama, quyidagicha yoziladi

(6)

Approksimatsiyaning lokal hatoligi uchun quyidagi ifodaga ega bo’lamiz

Shuning uchun bo’lganda Laks sxemasi ko’chish tenglamasini approksimatsiya qilmaydi, va quyidagi holatda

(7)

tartib bilan approksimatsiya qiladi. Shu tariqa, faqatgina qadamlarning o’zaro belgilangan muosabatlaridagina approksimatsiya qiladi, ya’ni Laks sxemasi shartli approksimatsiyalanuvchi sinfga kiradi.

O’tish ko’paytuvchisi uchun quyidagi formulaga kelamiz

Demak, o’tish qoidasida Laks sxemasi turg’un bo’lishi uchun quyidagi shart bajarilishi zarur , ya’ni

1.6. Laks-Vendrof sxemasi. Bu sxemaning ayirmali tenglamasi quyidagichadir

(8)

Laks-Vendroff sxemasi ikki qadamli sxemalar sxemalar oilasiga kiradi. Bu sxemada avval Laks sxemasi bo’yicha yarim tugunlarda vaqt bo’yicha qatlamda, yordamchi kattalikning qiymati hisoblanadi. So’ngra, ikkinchi qadamda, qidirilayotgan funksiyaning qiymatlari, vaqt bo’yicha qatlamda hisoblaniladi.

Ikki qadamli sxemalarning approksimatsiya tartiba va tur’gunligini o’rganish uchun yordamchi kattalikni hisobga olmay turamiz. Natijada bir qadamli Laks-Vendroff sxemasini hosil qilamiz

(9)

Bu (1.45) ko’chish tenglamasini va bo’yicha ikkinchi tartib bilan approksimatsiya qilishini tekshirish qiyin emas.

O’tish ko’paytuvchisi uchun quyidagi ifodaga ega bo’lamiz

(10)

Shuning uchun turg’unlikning zaruriy sharti quyidagi tengsizlik bajarilishiga ekvivalent bo’ladi

(11)

yoki

Ohirgi tengsizlik shart bilan ekvivalent. Shu tariqa, Laks-Vendroff sxemasining turg’unlik sharti Laks sxemasining turg’unlik sharti bilan ustma-ust tushadi.