Юқори тартибли детерминантларни хисоблаш. Мисоллар режа

3. Минор ва алгебраик тўлдирувчилар


детерминантда - сатрни ва - устунни ўчиришдан 2- тартибли детерминант ҳосил бўлади, бунга элементга мос минор дейилади ва билан белгиланади. Масалан,

ва бошқалар.
элементнинг алгебраик тўлдирувчиси деб унга мос минорнинг мусбат ёки манфий ишора билан олинган катталигига айтилади,бунда жуфт бўлса, мусбат ишора билан, тоқ бўлса манфий ишора олинади. элементнинг алгебраик тўлдирувчисини билан белгиланади. Демак,

бўлади ва бошқалар.
4. Детерминантларнинг хоссалари. Детерминантлар қуйидаги хоссаларга эга:
1. Детерминантнинг барча сатридаги элементларини мос устунэлементлари билан алмаштирилса унинг катталиги ўзгармайди, яъни
.
1-мисол.
бўлиб, бу детерминантда барча сатрларини мос устунлар билан алмаштирсак,

бўлади. Бундан кўринадики, иккала ҳолда ҳам бир хил катталик ҳосил бўлди, бу биринчи хоссанинг тўғрилигини кўрсатади.
2. Иккита сатр (устун)ни ўзаро алмаштирилса детерминант катталигининг ишораси тескарисига ўзгаради; ҳақиқатан ҳам 1- мисолдаги детерминантда 1-сатрини 3-сатри билан ўзаро алмаштирсак,

бўлиб, бу 2-хоссанинг ўринли эканлигини кўрсатади.
3. Иккита бир хил сатр (устун)ли детерминант катталиги нўлга тенг;
иккита сатри бир хил бўлган детерминантни ҳисобласак,

бўлади, бу эса 3-хоссанинг тўғрилигини кўрсатади.
4. Детерминантнинг бирор сатр (устун) нинг ҳамма элементларини 0 сонга кўпайтирилса, унинг катталиги шу сонга кўпаяди.
Ҳақиқатан ҳам, 1-хоссада келтирилган детерминантнинг 2-сатри элементларини 2 га кўпайтирсак,

бўлиб, бу хоссанинг ҳам тўғрилиги кўринади.
5. Детерминантнинг иккита сатри (устуни) элементлари ўзаро пропорционал (мутаносиб) бўлса, унинг катталиги нўлга тенг, мисол учун,

детерминант берилган бўлсин. Бу детерминантнинг 1 ва 2-сатри элементлари ўзаро пропорционал, уни ҳисобласак

бўлиб, бу эса 5-хоссанинг тўғрилигини кўрсатади.
6. Детерминантнинг катталиги, бирор сатри (устуни) элементларини унга мос алгебраик тўлдирувчиларига кўпайтириб қўшилганига тенг. 1-хоссада келтирилган мисолни қараймиз:

бу детерминантни 3-сатр элементлари бўйича ёйиб ёзсак,

келиб чиқади, бу эса 6-хоссанинг ҳам ўринли эканлигини кўрсатади.
7. Детерминант бирор сатри (устуни)нинг ҳар бир элементи иккита қўшилувчидан иборат бўлса, у ҳолда бу детерминант иккита детерминант йиғиндисига тенг бўлади, яъни


.
Ушбу детерминантни

қуйидагича алмаштирамиз:

кейинги иккита детерминантни ҳисобласак,

1-хоссадаги мисолдан маълумки, у 22 га тенг эди, кейинги икки детерминант йиғиндиси ҳам 22га тенг бўлади,бу эса 7-хоссанинг ўринли эканлигини кўрсатади.
8. Детерминантнинг бирор устини (сатри) элементларига бошқа устини(сатри)нинг мос элементларини исталган умумий кўпайтувчига кўпайтириб қўшилса, унинг катталиги ўзгармайди, яъни:
.
Мисол учун,

детерминантнинг 2-устун элементларини 2 га кўпайтириб, 1-устуннинг мос элементларига қўшиб, ҳосил бўлган детерминантни ҳисобласак:

бўлади. Бу детерминантнинг катталиги 1- мисолда ҳисоблаганимиздек 22 га тенг эди, бу эса 8-хоссанинг ҳам тўғрилигини кўсатади;
Детерминантларнинг хоссаларидан фойдаланиш кўп ҳолларда қулай ҳисоблашларга олиб келади. Ушбу мисолни қараймиз.
2-мисол. детерминантнинг катталигини ҳисобланг.
Ечиш. Бу детерминантни учбурчак қоидаси билан ҳисоблаш кўп хонали сонлар бўлганлиги учун анча ноқулайликларга олиб келади. Шунинг учун бу детерминантни ҳисоблаш учун, унинг хоссаларидан фойдаланишга уринамиз. Иккинчи сатр элементларини -2 га кўпайтириб 1-сатр мос элементларига қўшамиз, бу ҳолда ушбу детерминант ҳосил бўлади:


ҳосил бўлган детерминантни 1- сатр элементлари бўйича ёйиб,ушбуни

оламиз.Охирги детерминант 2-сатр элементларини (-12) га кўпайтириб 1-сатр мос элементларига қўшиб ушбу натижага эга бўламиз:

Бу мисолдан кўринадики, детерминантларни ҳисоблашда унинг хоссаларидан фойдаланиш анча қулайликларга олиб келади.

3 –тартибли детерминантни диагоналлар усули деб аталувчи ушбу усул билан ҳам ҳисоблаш мумкин:


.
1-мисолдаги детерминантни диагонал усулидан фойдаланиб ҳисобласак,



бўлади.