Задача: Для данного уравнения кривой второго порядка с параметром : Определить зависимость типа кривой от параметра с помощью ин

Общее определение. Кривой второго порядка называют геометрическое место точек  плоскости, обладающих свойством: расстояние от точки  до точки  , называемой фокусом, равно расстоянию точки  до прямой  , называемой директрисой, умноженному на некоторое число  – эксцентриситет.
Замечание: Определение кривых 2-го порядка с использованием директрисы не позволяет принять  =0, хотя раньше такое значение эксцентриситета выделяло частный случай эллипса – окружность!
Из общего определения кривых второго порядка с использованием директрисы и эксцентриситета следует: директриса и кривая второго порядка не могут пересекаться!
Оп ределим директрису для эллипса.
При рассмотрении канонического уравнения эллипса было установлено: кривая симметрична относительно осей  и  . Это означает, что эллипс должен иметь две, симметрично расположенные относительно оси  , директрисы. Обозначим эти директрисы, как  и  .
В соответствии с определением, для левой директрисы имеем:  = · . Но, для эллипса:  = и  = . Легко видеть, что в этом случае:  . Это значит, что  и уравнение левой директрисы:  .
Для правой директрисы:  = и  = . Используя условие:  = · , получаем такое же значение параметра:  и уравнение правой директрисы:  .
Если учесть, что для эллипса  <1, то  . Это подтверждает предположение, что кривая и директриса не пересекаются!
Определим директрису для гиперболы.
Пр и рассмотрении канонического уравнения гиперболы было установлено: кривая симметрична относительно осей  и  . Это означает, что гипербола должна иметь две, симметрично расположенные относительно оси  , директрисы. Обозначим эти директрисы, как  и  .
В соответствии с определением, для левой директрисы имеем:  = · . Но, для левой ветви гиперболы было получено:  = , а  = . Легко видеть, что в этом случае:  . Это значит, что  и уравнение левой директрисы:  .
Для правой директрисы:  = и  = . Используя условие:  = · , получаем такое же значение параметра:  и уравнение правой директрисы:  .
Если учесть, что для гиперболы  >1, то  . Это подтверждает предположение, что кривая и директриса не пересекаются!
☺☺