Задача: Для данного уравнения кривой второго порядка с параметром : Определить зависимость типа кривой от параметра с помощью ин

2.3 Построение кривой в канонической и общей системе координат



Рис.1. Эллипс в общей системе координат:



Рис.2. Эллипс в канонической системе координат

Вывод для данной кривой

второго порядка после определения зависимости типа кривой от параметра с помощью инвариантов мы определили, что при данное уравнение - гипербола. После преобразования уравнения кривой при с помощью параллельного переноса и поворота координатных осей, было получено каноническое уравнение эллипса. С помощью этого уравнения мы нашли фокусы, директрисы, эксцентриситет и асимптоты данной гиперболы.
Анализ поверхности второго порядка
1. Переход уравнения поверхности второго порядка к каноническому виду

Поверхностью второго порядка S называется геометрическое место точек, декартовы прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида:

(2.2)

где по крайней мере один из коэффициентов отличен от нуля. Уравнение (1.1) называют общим уравнением поверхности второго порядка , а систему координат называют общей системой координат. Нам дано общее уравнение поверхности второго порядка

(2.1)

Приведём данное уравнение (2.1) к каноническому виду.

(2.2)

То есть получили уравнение эллиптического цилиндра в каноническом виде.

Исследование формы поверхности методом сечений и построение полученных сечений
Данное каноническое уравнение поверхности (2.2) задает эллиптический цилиндр.
1. Рассмотрим линии , полученные в сечениях эллиптического цилиндра плоскостью . Эти линии определяются системой уравнений:

Следовательно, уравнение проекций линий на плоскость имеет вид:

(2.3)

Уравнение (2.3) - уравнение эллипса с центром в точке (0,0,0), мнимыми осями в точках и (см. рис 1).

2. Рассмотрим линии , полученные в сечениях эллиптического цилиндра плоскостями . Эти линии определяются системой уравнений:

Следовательно, уравнение проекций линий на плоскость имеет вид:

: (2.4)

Запишем уравнение (2.4) в виде:

: (2.5)

Уравнение (2.5) - это уравнение прямых в плоскостях ( - любое действительное число). При различных значениях получим семейство соответствующих прямых (см. рис.2):

(сечений нет)
(прямая)
(две параллельные прямые)

Рассмотрим линии , полученные в сечениях эллиптического цилиндра плоскостью . Эти линии определяются системой уравнений:

Следовательно, уравнения проекций линий на плоскость имеют вид:

: (2.6)

Запишем уравнение (2.6) в виде:

: (2.7)

Уравнение (2.7) - это уравнение прямых в плоскостях ( - любое действительное число),

При различных значениях получим семейство соответствующих прямых (см. рис.3):

(сечений нет)

,
.

Построение сечений:

Рис.1. Эллипс (Z=const).
Рис.2. Семейство прямых (X=h (h=const)).



Рис.3. Семейство прямых (Y=h (h=const))
Эллиптический цилиндр в канонической системе координат



Рис.4. Эллиптический цилиндр в канонической системе координат.

Вывод

Итак, мы привели общее уравнение поверхности второго порядка к каноническому виду, то есть максимально его упростили. Далее, для того, чтобы иметь представление о форме данной поверхности, мы исследовали её методом сечений плоскостями , , , параллельными координатным плоскостям. В ходе исследования мы получили эллиптический цилиндр.
Список литературы

1. 
   4. Р.Б. Райхмист «Графики функций», Москва, 1991г.
   
2. 
   Л.Д. Кудрявцев «Курс математического анализа» т.1, Москва 1981
   
3. 
   Лекции по математике
   
4. 
   Копылова Т.В. "Аналитическая геометрия". - Дубна, 1996.
   
5. 
   Ефимов А.В., Демидович Б.П. "Сборник по математике" (для ВТУЗов) (в четырех частях). - М.: Наука, 1993.
   
6. 
   Мазный Г.Л., Мурадян А.В. "Офисные информационные технологии" - Дубна: Международный университет природы, общества и человека "Дубна", 1999.
   

~ ~