Задача: Для данного уравнения кривой второго порядка с параметром : Определить зависимость типа кривой от параметра с помощью ин

Пример 5–09: Дан эллипс:  . Определить его полуоси, фокусы, эксцентриситет и директрисы.
Решение:
1). Приведём заданное уравнение эллипса к канонической форме:  .
2). Тогда:  =5,  =3, и можно вычислить:  =4,  = = , после чего:  = = .
Ответ: полуоси:  =5,  =3, фокусы:  (–4,0) и  (4,0),  = , директрисы:  = .

2.2 Определение зависимости типа данной кривой (1.1) от параметра с помощью инвариантов

Пусть кривая Г задана в декартовой прямоугольной системе координат уравнением:

Если хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля, то кривую Г называют кривой второго порядка.
Найдем коэффициенты общего уравнения кривой второго порядка (1.1):

Вычислим инварианты кривой (1.1) по формулам:
,
,

Далее, в зависимости от значений инвариантов, определим тип кривой (1.1) и рассмотрим по отдельности кривые различных типов, определяемые этим уравнением кривой второго порядка с параметром , пользуясь классификацией кривых второго порядка.
В зависимости от значения инварианта принята следующая классификация кривых второго порядка.
Если - кривая второго порядка Г называется кривой эллиптического типа.
Если - кривая второго порядка Г называется кривой параболического типа.
Если - кривая второго порядка Г называется кривой гиперболического типа.
Кривая второго порядка Г называется центральной, если .
Кривые эллиптического и гиперболического типа являются центральными кривыми.
Классификация кривых второго порядка с помощью инвариантов:
эллипс ;
мнимый эллипс ;
вырожденный эллипс ;
две мнимые пересекающиеся прямые (точка) ;
гипербола ;
две пересекающиеся прямые ;
парабола .
В соответствии с классификацией кривых второго порядка имеем:
1. Если , то есть , то уравнение (1.1) определяет кривую параболического типа. При этом I3 = 0, следовательно, если , то уравнение (1.1) определяет параболу.
кривая второй порядок поверхность
Если , то кривая второго порядка - центральная. Следовательно, при данная кривая (1.1) - центральная.
2. Если , то есть при данная кривая (1.1) определяет кривую эллиптического типа. При этом если ещё и , то есть если , то уравнение (1.1) определяет эллипс.
3. Для вырожденного эллипса 

4. Для мнимого эллипса :

5. Если и , то уравнение (1.1) определяет две пересекающиеся прямые. Получим:

=> =>

Следовательно, двух пересекающихся прямых не существует для данного уравнения.

6. Если и , то уравнение (1.1) определяет две мнимые пересекающиеся прямые. Получим:


=>

Следовательно, если , то уравнение определяет две мнимые пересекающихся прямые (точку).

Если I2 < 0, то уравнение определяет кривую гиперболического типа. Следовательно, если , то уравнение (1.1) определяет кривую гиперболического типа.
7. Если и , то данная кривая - гипербола. Но при всех . Следовательно, если , то уравнение (1.1) определяет гиперболу.

Переход уравнения кривой при = 0 к каноническому виду с помощью параллельного переноса и поворота координатных осей

При = 0 уравнение (1.1) имеет вид:

(1.2)

а) Определим тип кривой (1.2) с помощью инвариантов:

Так как , то исходное уравнение представляет собой уравнение эллиптического типа, а именно эллипс, так как .

б) Приведём данное уравнение (1.2) к каноническому виду, применяя преобразования параллельного переноса и поворота координатных осей.
Пусть декартовая прямоугольная система координат получена поворотом системы на угол . Старые и новые координаты точки связаны соотношениями:


(1.3)

Подставим выражение (1.3) в (1.2), получим уравнение (1.2) в системе . Это уравнение имеет вид:

(1.4)

Упрощая полученное уравнение и приводя подобные слагаемые, получаем:

(1.5)

Выберем такой угол , что в уравнении (1.5) коэффициент при = 0:

Примем , тогда найдем значения и , которые выражаются через по формулам: , . Отсюда , а . Возьмём значения , а .

Тогда уравнение (1.5) имеет вид:

Дополним до полных квадратов:

Примем за новое начало точку . Применим формулы преобразования координат:

Получим:

или

То есть получили уравнение эллипса в каноническом виде.

Нахождение фокусов, директрис, эксцентриситетов и данной кривой второго порядка ( )

Для данного уравнения кривой второго порядка найдём фокусы, директрисы, эксцентриситет.

(1.6)

Общее уравнение эллипса имеет вид:

Из канонического уравнения (1.6) находим и  большую и малую полуоси эллипса соответственно:

Для любой точки М гиперболе, абсолютная величи7а разности фокальных радиусов ( ) есть величина постоянная и равная 2 .

Выберем начало координат в середине отрезка равного , тогда в выбранной системе координат точки и имеют координаты и соответственно. Обозначим через постоянную, о которой говорится в определении гиперболы. Очевидно, что , то есть .
Находим значение по формуле :

Отсюда фокусы и имеют следующие координаты:

,

Эксцентриситетом гиперболы называется величина , то есть имеем:

Директрисой гиперболы, называются две прямые перпендикулярные действительной оси гиперболы и расположенные ассиметрично относительно центра гиперболы на расстоянии от него.

Уравнения директрис гиперболы имеют вид:


. Отсюда ;

Асимптотами называются диагонали прямоугольника, к которым стремятся ветви гиперболы. Уравнения асимптот находятся по следующим формулам:

,
то есть и