Задача этого урока изучение квадратичной функции, где

Функция 
Определения
Многочлен  , где  – числа (коэффициенты,  ) называется квадратным трёхчленом.
 – старший член
– старший коэффициент
Функцию  , где  , называют квадратичной функцией.  , b, c определяют конкретную квадратичную функцию. Например,

Уравнение  называют квадратным, если  .
Задача этого урока – изучение квадратичной функции  , где  .
До этого урока был изучен частный случай квадратичной функции, а именно  , где  ,  и  .


Рис. 1. Парабола
Вершина данной параболы расположена в точке  , а коэффициент  и  в первом случае ( );  во втором случае ( ).
Чтобы перейти к общему случаю, нам следует усложнить частный случай  .
Например, возьмем функцию  . Если мы её усложним до  , то получим полноценную квадратичную функцию:  , где  .

Рис. 2. Иллюстрация к примеру
Возьмем другой пример:  , где  .

Рис. 3. Иллюстрация к примеру
Вершина данного графика будет находиться в точке  . Отсюда следует вывод, что графики  и  имеют один и тот же шаблон (параболу  ), но с разным расположением вершины.
 Метод выделения полного квадрата
Шаблон кривой  есть парабола  .

Рис. 4. Парабола
Доказательство основано на методе выделения полного квадрата.
Формула

Примеры
1. 
2. 
Пример 




Рис. 5. Иллюстрация к примеру
Вывод подтвердился: шаблоном графика функции  есть парабола  .
 Метод выделения полного квадрата. Общий случай
Сначала выносим «а» за скобки:

Теперь выделим удвоенное произведение и второе число:

Затем выделим полный квадрат:



Приведем к общему знаменателю  и  :




Функция имеет вид:



Парабола  является шаблоном кривой  .
 График функции у = ах² + bx +c
Чтобы построить график функции  необходимо:
1. Построить параболу 
2. Выполнить параллельный перенос параболы  так, чтобы её вершина  совместилась с точкой  .
– ось параболы


_­
Свойства функции  аналогичны свойствам функции  .
 Задачи
Задача 1. Построить и прочесть график функции 
Решение:
1. Найти координаты вершины.


2. Построить несколько точек (или использовать шаблон)
3. Получить искомую кривую 

Рис. 6. Иллюстрация к задаче
Функция убывает, если  . Функция возрастает, если  .
Задача 2. Перечислить основные свойства 
Решение:
Используем свойства 
1. 
2.  – не существует
3.  при  ;  при 
4. непрерывна
5. выпукла вниз
Задача 3.Найти все значения параметра а, при каждом из которых  имеет хотя бы одно решение.
Решение:
1. 
2. строим график функции 

Рис. 7. Иллюстрация к задаче

Ответ:  .
Объяснение к данному ответу:
По смыслу множества значений  : значения функции из  , и только они, достигаются хотя бы при одном значении  из ОДЗ.
Задача 4. Определите знаки  функции  по её графику 

Рис. 8. Иллюстрация к задаче
Решение:
1. 
2.  (ветви направлены вверх)
3.  (так как  ) 
Ответ:  .
Задача 5. Дано:  ;  . Найти:  .
Решение:
1.
2. 

3. строим график 

Рис. 9. Иллюстрация к задаче
Ответ:  .
 Вывод
Итак, мы рассмотрели квадратичную функцию  , где  . Выяснили, что шаблоном для ее графика является парабола у = ах².
Список литературы

1. 
   Башмаков М.И. Алгебра 8 класс. – М.: Просвещение, 2004.
   
2. 
   Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. – 5 издание. – М.: Просвещение, 2010.
   
3. 
   Никольский С.М., Потапов М.А., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2006.