Задача оптимизации в конструировании

Симплексом называется N-мерная замкнутая геометрическая фигура, ребра которой представляют собой прямые линии, пересекающиеся в (N+1) вершине. В двумерном случае это треугольник, в трехмерном – тетраэдр.
Схемы поиска с использованием симплексов основаны на слежении за изменением значений целевой функции в их вершинах. Главным в этих схемах является процесс отражения – нахождение вершины нового симплекса, расположенного симметрично относительно плоскости, проходящей через одну из сторон исходного симплекса. Выбор направления поиска вершины нового симплекса определяется положением той вершины исходного симплекса, в которой целевая функция имеет наихудшее значение (точка А на рис. 4.25).


x₂


В


А

0

Рисунок 4.25.

На рисунке (симплекс-метод в двумерном пространстве) сплошной линией обозначен исходный симплекс, пунктирной – новый симплекс. Новая точка (В) называется «дополнением» наихудшей точки. Если в новой вершине значение целевой функции хуже, чем в наихудшей точке исходного симплекса, то алгоритм предусматривает возврат в исходную точку – вершину прежнего симплекса. Затем осуществляется переход к той вершине прежнего симплекса, в которой целевая функция имеет следующее по величине значение и отыскивается точка, являющаяся ее дополнением. Такой алгоритм обеспечивает систематическое смещение центра симплекса в направлении экстремума целевой функции.
На рис. 4.26 представлено геометрическое изображение симплексного метода [8]. Траектория движения представляет собой ломаную линию, колеблющуюся вокруг линии крутого восхождения. Цифры указывают последовательность расчета новых вершин.
Алгоритм последовательного улучшения плана в общем случае получается сравнительно сложным и громоздким. Поэтому симплекс-метод обычно применяют в тех случаях, когда не известен какой-либо другой метод, позволяющий упростить и ускорить получение решения.