Задача оптимизации в конструировании

3. Метод Гаусса-Зейделя
Метод Гаусса-Зейделя (метод покоординатного спуска) – это регулярный неградиентный метод, который (и его разновидности) широко используют при оптимизации технологических процессов, когда число независимых переменных менее пяти. Иначе резко увеличивается число экспериментов.
В этом методе последовательное продвижение к экстремуму осуществляется путем поочередного варьирования каждой независимой переменной (фактором) до достижения частного экстремума параметра оптимизации. В каждой серии опытов меняется только одна переменная х_i, а остальные остаются неизменными. Движение начинается с исходной точки, которая выбирается путем анализа исходных данных, например, ограничений, наложенных на независимые переменные, свойств изучаемого процесса и т.п. В исходной точке х^о все координаты, кроме одной (например, х₁), фиксируем. Затем осуществляем минимизацию целевой функции по х₁:

В результате минимизации целевой функции по х₁ любым методом получаем новое значение координаты . В точке с координатами имеем частный экстремум целевой функции. Затем из новой точки целевую функцию минимизируем по х₂:

и т.д.
В результате циклического перебора всех координат получают новое приближение параметров и т.д. Алгоритм легко реализуется на ЦВМ.
Таким образом, изображающая точка попеременно перемещается вдоль каждой из координатных осей факторного пространства. Переход к новой i + 1 координате осуществляется при достижении частного экстремума целевой функции по предыдущей координате, т.е. в точке , где

После достижения частного экстремума по последней переменной х_п переходят снова к варьированию х₁ и т.д. В результате изображающая точка приближается к экстремуму. Направления движения вдоль (i + 1)-й координатной оси выбирается обычно по результатам двух пробных экспериментов (шагов) в окрестностях точки частного экстремума по предыдущей переменной. Поиск экстремума прекращается в точке, движение из которой в любом направлении не приводит к уменьшению значения параметра оптимизации. Эта точка соответствует экстремуму функции и является искомым оптимумом.
Точность определения оптимальной точки зависит от шага варьирования переменной Δх_i. Иногда для увеличения точности уменьшают величину шага при приближении к экстремуму.
Поиски минимума и максимума функции идентичны по процедуре, меняется только знак.
На рис. 4.27 представлен поиск экстремума в двумерной системе координат y = F(х₁, х₂).
Точки частного экстремума h, h +1, h +2, …, в которых траектория движения по координате является касательной к линии равного значения. В этих точках осуществляется переход к другой координате после двух пробных шагов. Движение по координатной оси осуществляется шагами (точки между точками поворота).
В случае если имеется целевая функция в явном виде, то все координаты, кроме одной, принимаются постоянными. Целевая функция зависит от одной переменной, по которой берется частная производная, определяющая частный экстремум и точку поворота. Затем берется другая переменная и процедура повторяется. В этом случае мы движемся не шагами, а сразу определяем точки поворота.
К недостаткам метода следует отнести также то, что результаты поиска существенно зависят от выбора системы координат. Кроме того, при наличии ограничений он часто вообще не приводит к решению. Однако простота этого алгоритма и его аппаратурной реализации позволяет применять метод во многих практических случаях.