Определение Каноническим видом эрмитовой квадратичной формы называется выражение вида где координаты вектора, а вещественные канонические коэффициенты

Приведение квадратичной формы к каноническому виду
Основная задача, связанная с квадратичными формами, состоит в приведении ее с помощью линейного невырожденного преобразования переменных (преобразования базиса) к максимально простому (каноническому) виду.
Определение 1. Каноническим видом эрмитовой квадратичной формы называется выражение вида

где  - координаты вектора , а  - вещественные канонические коэффициенты.
Необходимые и достаточные условия положительной (отрицательной) определенности квадратичной формы дает следующая теорема.
ТЕОРЕМА 2. Для того чтобы квадратичная форма L = X^T AX была положительно (отрицательно) определенной, необходимо и достаточно, чтобы все собственные значения λ_i (i = 1, 2, ..., n) матрицы A были положительными (отрицательными).
Данную теорему приводим без доказательства.
Во многих случаях для установления знакоопределенности квадратичной формы удобно применять критерии Сильвестра.
ТЕОРЕМА 3. Для того чтобы квадратичная форма была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры матрицы этой формы были положительными, то есть
где
Следует заметить, что для отрицательно определенных квадратичных форм знаки главных миноров чередуются, начиная со знака "минус" для минора первого порядка.
Например, квадратичная форма L в примере 2 является положительно определенной на основании теоремы 2, так как корни характеристического уравнения λ₁ = 6 и λ₂ = 1 являются положительными.
Второй способ. Так как главные миноры матрицы A
являются положительными, то по критерию Сильвестра данная квадратичная форма является положительно определенной.
Квадратичные формы
Однородный многочлен второй степени относительно переменных 

называется квадратичной формой от этих переменных. Если взять  то квадратическую форму (1.26) можно записать в виде: 

или 

где 

Выражение (1.28), а следует и квадратичная форма (1.26) полностью определяется матрицей  которая называется матрицей квадратичной формы (1.26). 
Выполняя замену базиса, квадратичную форму (1.26) можно привести к виду: 

где  - новые переменные, что линейно выражаются через  (1.28),  - собственные значения матрицы 
Выражение (1.29) называется каноническим видом квадратичной формы (1.26).
Рассмотрим квадратичную форму  где  - матрица коэффициентов 

Тогда квадратичную форму можно записать так: 

Квадратичная форма  называется положительно определенной, если для всех действительных значений  выполняется неравенство  и отрицательной, если для всех действительных значений  выполняется неравенство 
Если  положительно определена, то квадратичная форма  называется отрицательно определенной. 

1.1. Метод Лагранжа

Метод Лагранжа позволяет привести к каноническому виду симметрическую вещественную квадратичную форму. Идея метода состоит в последовательном дополнении квадратного многочлена по каждой переменной до полного квадрата.
Пусть
.
Будем считать, что  . Если это не так, то возможны два варианта:
1. Какой–нибудь из  . Тогда перенумеровав базисные векторы (переобозначение переменных), получим требуемое условие.
2. Если все  , и, например,  , то сделаем следующее невырожденное преобразование

При этом  и коэффициент при  .
Выделим в выражении для слагаемые, содержащие  :
.
Преобразуем слагаемые с :
.
Сделаем невырожденное преобразование переменных
,
.
Обозначим  . Тогда для получим
.
Если теперь квадратичная форма
,
то приведена к каноническому виду. Если  , то, проводя аналогичные преобразования координат  , за конечное число шагов приведем квадратичную форму к каноническому виду.
Пример. Приведем к каноническому виду квадратичную форму
.
Здесь все , а коэффициент . Поэтому сделаем преобразование

Тогда
.
Выделим и преобразуем слагаемые с  :
.
Сделаем замену переменных

Тогда
.
Преобразуем далее слагаемые с  :

и сделаем замену переменных

Квадратичная форма принимает канонический вид
.
1.2. Метод Якоби
Метод Якоби позволяет найти канонические коэффициенты невырожденной эрмитовой квадратичной формы по ее коэффициентам в произвольном базисе, не строя сам канонический базис.
Обозначим через  главный минор - го порядка матрицы квадратичной формы , т. е.
.
Если все главные миноры матрицы квадратичной формы отличны от нуля, то существует канонический базис, в котором данная форма имеет вид
,
где
.