Определение Каноническим видом эрмитовой квадратичной формы называется выражение вида где координаты вектора, а вещественные канонические коэффициенты

Пример 2. Привести квадратичную форму  к каноническому виду с помощью ортогональной матрицы и найти ее.
Решение. Матрица данной квадратичной формы имеет вид  . Запишем систему типа (2.39) для нахождения собственных чисел и собственных векторов
(2.49)
Характеристическое уравнение данной системы имеет вид
или (2 – λ) (5 – λ) – 4 = 0.
Решив данное уравнение, находим λ₁ = 6, λ₂ = 1. Значит канонический вид данной квадратичной формы является  .
Найдем ортогональную матрицу.
Столбцами ортогональной матрицы, которая приводит квадратичную форму к каноническому виду, является ортонормированный собственные вектор-столбец матрицы A.
Сначала найдем нормированный собственный вектор-столбец матрицы A с собственным значением λ₁ = 6. Для этого из системы (2.49) имеем систему для нахождения координат вектора:

Из данной системы находим x₂ = 2x₁ или u₂ = 2u₁. Значит, при произвольном u₁, отличном от нуля, столбец  является собственным вектором-столбиком матрицы A, а столбец  является нормированным собственным вектором-столбиком матрицы A. Здесь использовано, что  .
Аналогично находим вектор-столбец матрицы A с собственным значением λ₂ = 1, а именно из системы:

Находим x₁ = –2x₂ или при произвольном s, отличном от нуля, столбец  является собственным вектором матрицы A. Столбец  является нормированным собственным вектором матрицы A. Значит, искомая матрица имеет вид:

Замечание. Легко проверить, что  для данного примера 2.
Рассмотрим на примере еще один метод приведения квадратичной формы к каноническому виду.
Метод Лагранжа приведения квадратичной формы к каноническому виду заключается в последовательном выделении полных квадратов.