Задача оптимизации в конструировании

4.7.5. Методы многомерного поиска
Рассмотрим некоторые методы, применяемые при решении конструкторских и технологических задач.


1. Метод неопределенных множителей Лагранжа
Этот метод используется для решения задач с ограничениями (условный экстремум) путем преобразования их в задачи на безусловный экстремум.
Метод применяется при ограничениях типа равенств.
Постановка задачи:
имеется целевая функция
, где < х₁, х₂, …, х_n >,
и система ограничений

или где и m < п.
В этих равенствах n неизвестных независимых параметров .
Функции и являются непрерывными.
Решается задача оптимизации, т.е. отыскание условного экстремума: найти вектор , обеспечивающий экстремум целевой функции и удовлетворяющей системе ограничений (*).
Используется теорема Лагранжа: если функция достигает своего экстремума при заданных условиях (*) в точке , то существуют такие числа , при которых функция Лагранжа в той же точке имеет безусловный экстремум, т.е.

Функция Лагранжа связывает целевую функцию и функции ограничений

Числа λ_j называются неопределенными множителями Лагранжа.
Таким образом, вычисление условного экстремума функции сводится к отысканию безусловного экстремума функции Лагранжа .
Последовательность нахождения экстремума следующая.
Вначале составляется функция Лагранжа , в которой λ_j некоторые пока неопределенные множители.
Затем записываются необходимые условия безусловного экстремума функции Лагранжа, т.е. п уравнений вида

Эти п уравнений образуют с m уравнениями ограничений (*) систему из (п + m) уравнений с п + m неизвестными: п неизвестными переменными х₁, … х_п и m неизвестными множителями Лагранжа. Решение этой системы уравнений позволяет определить как множители Лагранжа, так и оценки переменных , т.е. получить искомое оптимальное решение. Множители λ_j служат только для проведения вычислений и в дальнейшем не используются.
п производных имеют вид ( ):