Замечание В.2. Можно доказать, что числовое множество с операциями "сложения по модулю " и "умножения по модулю " является полем для любого простого числа .
Пример В.9. Доказать, что множество чисел вида, где и — рациональные числа, является полем:
(B.3))
Решение. Действительно, операции сложения и умножения определены на рассматриваемом множестве, так как сумма и произведение двух чисел вида (В.З) имеют тоже самое представление:
Числа очевидно, рациональные для любых рациональных . Законы коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности не нуждаются в проверке, так как речь идет о сложении и умножении действительных чисел. Нулевым элементом служит число . Для каждого числа противоположным элементом является число , так как
Единичным элементом служит число . В самом деле, для любого числа имеет место равенство:
Таким образом, рассматриваемое множество является коммутативным кольцом с единицей . Осталось показать, что любое число , отличное от нулевого элемента , имеет обратный. В самом деле, учитывая, что
определим обратный элемент равенством . Тогда
Заметим, что знаменатель отличен от нуля для любых рациональных чисел и , не равных нулю одновременно. Действительно, равенство равносильно равенству , а это означает, что — рациональное число. Поскольку число — иррациональное, значит , т.е. обратный элемент существует для любого .
Так как рассматриваемое множество является коммутативным кольцом с единицей и каждый элемент, отличный от нуля, имеет обратный, то оно является полем.
|
