Задача. Пусть. Сколько n- арных алгебраических операций на ? Ответ. Таких операций

Теорема 3. Если в моноиде для есть симметричный элемент, то такой элемент единственен.
Доказательство. Пусть для данного два симметричных элемента и Тогда в силу (1) и (2) имеем:
.■
Обычно умножение называют мультипликативнойоперацией, сложение – аддитивной. В случае мультипликативной операции результат операции называют произведением, нейтральный элемент – единицей (обозначают 1), симметричный элемент к – обратным (пишут ). В случае аддитивной операции результат операции называют суммой (x+y), нейтральный – нулём (обозначают 0), симметричный – противоположным (обозначают ).
Теорема 4. Если в моноиде для элементов и есть симметричные элементы и соответственно, то для элемента также существует симметричный элемент, равный
Доказательство. Для доказательства теоремы необходимо проверить условия (2): Проверим первое из этих равенств. Имеем:

Аналогично проверяется второе условие из (2).■

ТЕМА 2. ГРУППА. КОЛЬЦО. ТЕЛО. ПОЛЕ. ГРУППА. КОММУТАТИВНАЯ ГРУППА. МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫЕ, АДДИТИВНЫЕ ГРУППЫ. ПРОСТЫЕ СВОЙСТВА ГРУПП. ГОМОМОРФИЗМ ГРУПП. ПОЛУГРУППЫ. КОММУТАТИВНАЯ КОЛЬЦО. ОБЛАСТЬ ЦЕЛОСТНОСТИ. ПРОСТЫЕ СВОЙСТВА КОЛЬЦА. ГОМОМОРФИЗМ КОЛЕЦ. ПОДКОЛЬЦО. ПОЛЕ. ПРОСТЫЕ СВОЙСТВА ПОЛЯ. Множество  с алгебраической операцией  называется группой, если выполняются следующие условия: 1) операция  в  ассоциативна:  ; 2) в  существует нейтральный элемент  ; 3) для каждого элемента  существует обратный ему элемент  . Если операция  коммутативна, то группа называется коммутативной, или абелевой. В противном случае группа называется некоммутативной. Относительно операции сложения группами являются множества  . Относительно операции умножения группами являются множества  и  отличных от нуля рациональных и действительных чисел, поскольку для нуля не существует обратного элемента. Все эти группы коммутативные. В группах по сложению нейтральный элемент  называют нулевым (или просто нулем), а обратный элемент  — противоположным  . В группах по умножению нейтральный элемент  называют единичным (или просто единицей) и обозначают  , для обратного элемента  название и обозначение сохраняется.