Задача. Пусть. Сколько n- арных алгебраических операций на ? Ответ. Таких операций

ТЕМА 1. ТИПЫ И СВОЙСТВА БИНАРНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ОПЕРАЦИЙ. ПОЛУГРУППЫ.БИНАРНЫЕ , N-АРНЫЕ ОПЕРАЦИИ. РАНГ ДЕЙСТВИЯ. БИНАРНЫЕ ТИПЫ ДЕЙСТВИЙ. ТИП АЛГЕБРЫ. ГРУППОИД, ПОЛУГРУППА, МОНОИД. 1°. Алгебраические операции. Алгебра − наука об алгебраических операциях. Пусть X − произвольное множество. Определение 1. -арной алгебраической операцией на X называется отображение . Т.е. –компонентному элементу однозначно ставится в соответствие элемент . Задача. Пусть . Сколько n–арных алгебраических операций на ? Ответ. Таких операций Алгебраические операции при называются унарными, при – бинарными, – тернарными. Далее, как правило, будут рассматриваться бинарные операции. Если , то пишут или . Операции на X обозначают символами . Последний символ используется для операции сложения, остальные − для операции умножения. Определение 2. Множество X с конкретной алгебраической операцией называется алгебраической структурой. На одном и том же множестве X могут быть заданы различные алгебраические структуры. Примеры (алгебраических операций и алгебраических структур). 1. (R, +), так что R имеем 2. (R, -). 3. (R, ). 4. Деление не является алгебраической операцией на R, так как не определено деление на нуль. Однако оно является алгебраической операцией на (R ). 5–8. То же самое для С. 9. (R^n, +) 10. Скалярное произведение не является алгебраической операцией на множестве векторов, т.к. R^3 R^3 R. 11. – множество всех отображений относительно операции композиции является алгебраической структурой. 12. Как правило, алгебраическая операция на конечном множестве может быть задана с помощью таблицы Кэли, которая описывает результат операции на любой паре элементов множества. Рассмотрим множество, состоящее из 3-х элементов: {Доска, Окно, Тряпка} (кратко {Д, О, Т}). Введем следующую операцию, обозначаемую (символ операции). Соответствующую таблицу Кэли можно выбрать в виде 2 1 Д О Т Д Д О Д О О Д Т Т Т Т Д 13. Примерами тернарных операций на R R R R являются: . . . Обычно полезно изучать операции со специальными свойствами. Определение 3. Бинарная операция на X называется коммутативной, если ; ассоциативной, если выполняется .