Задача. Пусть. Сколько n- арных алгебраических операций на ? Ответ. Таких операций

Пример В.6. Рассмотрим множество  положительных действительных чисел. На этом множестве определим две операции: умножения  и возведения в положительную степень  . Доказать, что операция  возведения в степень дистрибутивна справа относительно умножения, но не дистрибутивна слева.

Решение. В самом деле, для любых положительных действительных чисел  справедливы равенства

Следовательно, операция  дистрибутивна справа относительно операции умножения чисел. Дистрибутивность  слева относительно умножения опровергается примером

Пример В.7. Доказать, что множество чисел вида, где  и  — целые числа, является кольцом:



(B.2)

Решение. Действительно, операции сложения и умножения определены на рассматриваемом множестве, так как сумма и произведение двух чисел вида (В.2) имеют тоже самое представление:

Числа  , очевидно, целые для любых целых  . Законы коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности не нуждаются в проверке, так как речь идет о сложении и умножении действительных чисел. Нулевым элементом служит число  . Для каждого числа  l противоположным элементом является число  , так как

Таким образом, рассматриваемое множество удовлетворяет всем условиям определения кольца.

Поле: определение и примеры полей

Множество  , на котором заданы две операции: сложение  и умножение  , называется полем, если выполняются следующие условия:

1)  — коммутативное кольцо с единицей  ;
2) для каждого элемента  , отличного от нулевого  , существует обратный элемент  .

Как видим, поле — это множество, в котором определены четыре операции: сложение, умножение, вычитание и деление. Полями, например, являются множества рациональных и действительных чисел.