Задача. Пусть. Сколько n- арных алгебраических операций на ? Ответ. Таких операций

Замечание. Если и − коммутативная операция, то таблица Кэли симметрична относительно диагонали.
Задача. Пусть . Сколько коммутативных бинарных операций на X? Ответ. Таких операций .
Примеры.

1. 
   (R, +). Операция сложения коммутативна и ассоциативна.
   
2. 
   (R, -). Операция вычитания не коммутативна и не ассоциативна. Например, , .
   
3. 
   (R, ), где . Такая операция коммутативна, но не ассоциативна. Действительно: .
   
4. 
   Умножение матриц является ассоциативной, но не коммутативной операцией.
   

Теорема 1 (обобщённая ассоциативность). Если операция ассоциативна, то в выражении скобки можно расставлять в любых местах.
Доказательство. Проводится методом математической индукции. Для утверждение повторяет определение ассоциативности. Пусть . Рассмотрим выражения
и ,
в которых выписаны лишь внешние скобки. Пусть в силу предположения индукции эти выражения можно переписать в виде

и
,
или
и
которые равны в силу определения ассоциативности. ■
Определение 4. Элемент называется нейтральным относительно алгебраической операции , если

.

(1)

Теорема 2. Нейтральный элемент единственен.
Доказательство. (от противного). Пусть и ­− два нейтральных элемента
(по условию нейтральности ) и
(по условию нейтральности )
.■
Определение 5. Множество с заданной на нем бинарной ассоциативной операцией называется полугруппой. Полугруппа с нейтральным элементом называется моноидом или полугруппой с единицей.
Определение 6. Элемент моноида называется симметричным к элементу , если

(2)