Задача. Пусть. Сколько n- арных алгебраических операций на ? Ответ. Таких операций

Пример В.4. Доказать, что множество  , состоящее из одного числа нуль, образует коммутативную группу по сложению.

Решение. Действительно, операция сложения определена на указанном множестве, так как  . Из этого равенства следует, что этот единственный элемент множества служит нулевым (нейтральным) элементом, а также противоположным (обратным) для себя. Ассоциативность сложения очевидна:  . Следовательно, все (три) условия в определении группы выполняются. Учитывая коммутативность сложения, заключаем, что рассматриваемое множество — коммутативная группа.

Пример В.5. Доказать, что множество  , состоящее из двух чисел, образует коммутативную группу по умножению.

Решение. Действительно, операция умножения определена на указанном множестве, так как



(B.1)

Следовательно, произведение элементов есть элемент того же множества. Ассоциативность умножения очевидна. Из равенств (В.1) следует, что существует единичный элемент  . Кроме того, каждый элемент имеет обратный:  . Таким образом, все (три) условия в определении группы выполняются. Из (В.1) следует, что умножение коммутативно, поэтому данная группа коммутативная.

Кольцо

Множество  , на котором заданы две операции — сложение  и умножение  , называется кольцом, если выполняются следующие условия:

1) относительно операции сложения множество  — коммутативная группа, т.е.

а) операция сложения коммутативна:  ;

б) операция сложения ассоциативна:  ;
в) существует нулевой элемент  ;
г) для каждого элемента  существует противоположный ему элемент  ;

2) операция умножения в множестве  ассоциативна:

3) операции сложения и умножения связаны законами дистрибутивности:

Если операция умножения коммутативна:  , то кольцо называется коммутативным, в противном случае кольцо называется некоммутативным. Если для операции умножения существует единичный элемент  , то говорят, что кольцо  — есть кольцо с единицей.

Кольцами являются множества целых, рациональных, действительных чисел, причем все они — коммутативные кольца с единицей. Примеры других колец, в том числе и некоммутативных, встретятся в дальнейшем. Как видим, кольцо — это множество, в котором определены три операции: сложение, умножение и вычитание.

Рассмотрим подробнее законы дистрибутивности. Пусть на множестве  заданы две операции  и  . Операция  называется дистрибутивной слева относительно операции  , если для любых  из  справедливо равенство:

и дистрибутивной справа относительно операции  , если для любых  из  справедливо равенство:

Если операция  коммутативна, то дистрибутивность слева операции  относительно операции  влечет дистрибутивность справа, так как

В этом случае говорят, что операция  дистрибутивна относительно операции  . Например, операция умножения чисел дистрибутивна (слева и справа) относительно операции сложения чисел. Следующий пример показывает, что имеются операции с "односторонней" дистрибутивностью.