Задача. Пусть. Сколько n- арных алгебраических операций на ? Ответ. Таких операций

Пример В.8. На множестве  трех целых чисел определим две операции:

1) "сложение по модулю 3" — остаток от деления суммы  на 3 (обозначим через  );

2) "умножение по модулю 3" — остаток от деления произведения  на 3 (обозначим через  ).

Доказать, что множество  является полем относительно введенных операций.

Решение. В этом примере остаток от деления целого числа  на 3 будем обозначать через  . Напомним простые свойства деления целых чисел с остатком:

– остаток от деления на 3 суммы не изменится, если слагаемое (или не сколько слагаемых) заменить его остатком при делении на 3:

– остаток от деления на 3 произведения не изменится, если множитель (или несколько множителей) заменить его остатком при делении на 3:

Рассматриваемые в примере операции "сложения по модулю 3" и "умножения по модулю 3" можно представить в виде

и 

а указанные свойства остатков записать так  .

Перейдем теперь к решению задачи. Отметим, что введенные операции  и  определены на  . Составим таблицы "сложения по модулю 3" и "умножения по модулю 3" (рис.В.2). Как видим, результаты этих операций принадлежат  . Следовательно, операции действительно определены на  .

Таблица "сложения по модулю"  . Таблица "умножения по модулю"  .

Покажем, что множество  является коммутативным кольцом с единицей. В самом деле, операция "сложения по модулю 3" коммутативна и ассоциативна. Это следует из коммутативности и ассоциативности сложения чисел. Действительно, из равенства  следует, что

Коммутативность доказана. Заметим, впрочем, что коммутативность "сложения по модулю 3" видна непосредственно по таблице (см. рис.В.2): слагаемые  и  в таблице можно поменять местами, при этом таблица не изменится.

Из равенства  следует, что

Ассоциативность "сложения по модулю 3" доказана.

Нулевым элементом  служит число 0. По таблице "сложения по модулю 3" определяем, что для каждого элемента  из  имеется противоположный элемент  . Действительно, по таблице "сложения по модулю 3" получаем

Итак, множество  относительно операции "сложения по модулю 3" является коммутативной группой.

Операция "умножение по модулю 3" ассоциативна и коммутативна, что следует из ассоциативности и коммутативности умножения целых чисел, а также свойств остатков:

Проверим дистрибутивность:

Следовательно, операция "умножения по модулю 3" дистрибутивна слева относительно операции "сложения по модулю 3". Дистрибутивность справа можно не проверять, так как обе операции коммутативны.

Единичным элементом служит число 1 (что видно по таблице "умножения по модулю 3"). Следовательно,  — коммутативное кольцо с единицей.

Осталось показать существование обратных элементов. Для любого  , отличного от нуля, существует обратный элемент  ;  . В самом деле, по таблице "умножения по модулю 3"  и  . Таким образом, множество  с введенными операциями является полем.