Задача со смешаннины граничными условиями для сингулярного зллиптического уравнения в бесконечной области

Известия вузов. Математика https://kpfu.ru/science/nauchnye-izdaniya/ivrm
2022б № 7, с. 58-72 e-mail: [e-mail]
Т.ГЮ ЕРГАШЕВ, З.Р. ТУЛАКОВА

ЗАДАЧА СО СМЕШАННИНЫ ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ ДЛЯ
СИНГУЛЯРНОГО ЗЛЛИПТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ В БЕСКОНЕЧНОЙ
ОБЛАСТИ
Аннотация. Решения задач Дирихле и Неймана для многомерного сингулярного эллиптиче –
ского уравнения в бесконечной области найдены в явных формах в недавных работах авто –
ров. В данной работе изучаетсия задача со смешанными условиями, являющаяся естественным
обобщением ранне рассмотренных задач Дирихле и Неймана. При доказательстве существо –
вания единственного решения поставленной задачи используются представление гипергео –
метрической функции Лауричеллы при предельных значениях переменных и формула для
многократных несобственных интегралов, которая обобщает известную формулу из справочника
И.С. Градштейна и И.М. Рыжика.

Ключевые слова: задача со смешанными условиями в бесконечной области, мно гомерное

еллиптическое уравнения с сингулярыми коэффициентами, фундаментальное решение, формула
о предельных значениях гипергеометрической функции, гипергеометрическая функция Лауричеллы многих переменных.
УДК: 517.946
DOI: 10.26907/0021-3446-2022-7-58-7
ВВЕДЕНИЕП

Пусть R_{м - m} – мерное евклидово простанство (m ≥ 2), x := (x₁,…., x_m) -произволь- ная точла в нем

и – натуральное число, причем Бесконечную область - – ую часть евклидова
пространства определим следующим образом:

Рассмотрим обобщегннова сингулярное еллиптическое уравнение

+ =0 (1)

В где =( и -действительные числа, причем 0 <2 < 1 ( j =

Введем следующие обозначения:

,……., >0, - < < + ,……., - < < + } ,
R: = : = = .

Поступила в редакцию 28.09.2021. Принята к публикации 23.12.2021.

ЗАДАЧА СО СМЕШАННИНЫ С ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ 59
Под модулем вектора будем понимать сумми его элементов, например , дла вектора : =
( из (1) имеем
: = …… + , 0 < 2 < n.
Задача со смешанниными граничными условиями (Задача , к = ).
Найти регулярное решение уравнения (1) из класс функций С С² ( ,уровло –
Творяющее условиям
= , p = (2)
= (3)
m > 2 , k = (4)
( при m =2 требуетсия органиченность искомого решения на бесконечности ) б, где и
- такие заданные функции , что
= , , p = (5)
= , , p = (6)
Kроме того, функции (, p = ) удовлетворяют условиям согласования на первых
Боковых гранях области и в начале координат:
₁