Задание д интегрирование дифференциальных уравнений движения материальной точки, находящейся под действием постоянных сил


Download 418.3 Kb.
bet3/4
Sana27.12.2022
Hajmi418.3 Kb.
#1069260
1   2   3   4
Bog'liq
РГР 4

Варианты 26-30 (рис.70, схема 6)
Имея в точке А скорость , тело движется по горизонтальному участку АВ длиной l в течении с. Коэффициент трения скольжения тела по плоскости равен f. Со скоростью тело в точке В покидает плоскость и попадает в точку С со скоростью , находясь в воздухе Т с.
При решении задачи принять тело за материальную точку; сопротивление воздуха не учитывать.
Вариант 26. Дано:
.
Определить d и .
Вариант 27. Дано:
.
Определить h.
Вариант 28. Дано:
.
Определить и Т.
Вариант 29. Дано:
.
Определить f и d.
Вариант 30. Дано:
.
Определить и .



1

2

3

4

5

6

Рисунок 70




4.16 Пример выполнения задания Д-1

Тело движется из точки А по участку АВ (длиной l) наклонной плоскости, составляющей угол с горизонтом в течении с. (Рисунок 71). Его начальная скорость . Коэффициент трения скольжения тела по плоскости равен .


Рисунок 71


В точке В тело покидает плоскость со скоростью и попадает со скоростью в точку С плоскости ВС, наклоненной под углом к горизонту, находясь в воздухе Т с.


При решении задачи тело принять за материальную точку. Сопротивление воздуха не учитывать.


Исходные данные:


.

Определить и уравнение траектории на участке ВС.


Решение:
Рассмотрим движение тела на участке АВ. Принимая тело за материальную точку, покажем действующие на тело силы (Рис. 71): вес , нормальную реакцию и силу трения скольжения . Запишем уравнение движения тела на участке АВ в векторной форме:


(116)

Спроектируем уравнение (116) на оси :




(117)

Из второго уравнения системы (117) находим:




.

При движении сила трения равна:




(118)

По второму закону Ньютона


. (119)

Подставим (118) и (119) в первое уравнение системы (117), сократим на массу и получим:




(120)

Учитывая, что , уравнение (120) преобразуем к виду:




(121)

Мы получим дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. Разделим переменные и проинтегрируем:





или


(122)

Подставим , разделим переменные и проинтегрируем:










(123)

Для определения произвольных постоянных и воспользуемся начальными условиями:


при


Подставляя начальные условия в (122) и (123), получим:




.

Тогда (122) и (123) примут вид:




(124)

Запишем конечные условия для участка АВ при и подставим в (124):




(125)

Так как f неизвестно, исключим из системы (125). Для этого выразим его из первого уравнения и подставим во второе:




,
(126)

Из (126) найдем :


(127)

Рассмотрим движение тела от точки В до точки С. Движение происходит под действием силы тяжести. Движение тела описывает второй закон Ньютона:




(128)

Спроектируем (128) на оси х, у и учтем (119):




(129)

Из первого уравнения системы (129), учитывая, что , получаем:




(130)

Из (130) следует, что


(131)

Так как , то в уравнении (131) можно разделить переменные и проинтегрировать:


(132)


(133)

Рассмотрим второе уравнение системы (129). Сократив на массу m, и учитывая, что , получим уравнение:


Download 418.3 Kb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   2   3   4




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling