Задание д интегрирование дифференциальных уравнений движения материальной точки, находящейся под действием постоянных сил

Варианты 26-30 (рис.70, схема 6)
Имея в точке А скорость , тело движется по горизонтальному участку АВ длиной l в течении с. Коэффициент трения скольжения тела по плоскости равен f. Со скоростью тело в точке В покидает плоскость и попадает в точку С со скоростью , находясь в воздухе Т с.
При решении задачи принять тело за материальную точку; сопротивление воздуха не учитывать.
Вариант 26. Дано:
.
Определить d и .
Вариант 27. Дано:
.
Определить h.
Вариант 28. Дано:
.
Определить и Т.
Вариант 29. Дано:
.
Определить f и d.
Вариант 30. Дано:
.
Определить и .

1	2
3	4
5	6

Рисунок 70

4.16 Пример выполнения задания Д-1

Тело движется из точки А по участку АВ (длиной l) наклонной плоскости, составляющей угол с горизонтом в течении с. (Рисунок 71). Его начальная скорость . Коэффициент трения скольжения тела по плоскости равен .

Рисунок 71

В точке В тело покидает плоскость со скоростью и попадает со скоростью в точку С плоскости ВС, наклоненной под углом к горизонту, находясь в воздухе Т с.

При решении задачи тело принять за материальную точку. Сопротивление воздуха не учитывать.


Исходные данные:


.

Определить и уравнение траектории на участке ВС.

Решение:
Рассмотрим движение тела на участке АВ. Принимая тело за материальную точку, покажем действующие на тело силы (Рис. 71): вес , нормальную реакцию и силу трения скольжения . Запишем уравнение движения тела на участке АВ в векторной форме:


(116)

Спроектируем уравнение (116) на оси :

(117)

Из второго уравнения системы (117) находим:

.

При движении сила трения равна:

(118)

По второму закону Ньютона

. (119)

Подставим (118) и (119) в первое уравнение системы (117), сократим на массу и получим:

(120)

Учитывая, что , уравнение (120) преобразуем к виду:

(121)

Мы получим дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. Разделим переменные и проинтегрируем:

или


(122)

Подставим , разделим переменные и проинтегрируем:

(123)

Для определения произвольных постоянных и воспользуемся начальными условиями:

при

Подставляя начальные условия в (122) и (123), получим:

.

Тогда (122) и (123) примут вид:

(124)

Запишем конечные условия для участка АВ при и подставим в (124):

(125)

Так как f неизвестно, исключим из системы (125). Для этого выразим его из первого уравнения и подставим во второе:

,
(126)

Из (126) найдем :

(127)

Рассмотрим движение тела от точки В до точки С. Движение происходит под действием силы тяжести. Движение тела описывает второй закон Ньютона:

(128)

Спроектируем (128) на оси х, у и учтем (119):

(129)

Из первого уравнения системы (129), учитывая, что , получаем:

(130)

Из (130) следует, что

(131)

Так как , то в уравнении (131) можно разделить переменные и проинтегрировать:

(132)


(133)

Рассмотрим второе уравнение системы (129). Сократив на массу m, и учитывая, что , получим уравнение: