Zahiriddin muhammad bobur nomidagi andijon davlat universiteti matematika fakulteti matematik analiz yo

II - lemma. Interval barcha uchun
II - lemmaning isboti. Qandaydir musbat , soni uchun kiri-tamiz, keyn esa istalgan soni uchun kiritilish mos keladi.

(2.5)kiritilish ketidan,

Bundan to’plamning qavariqligini hisobga olib, olamiz


Funksiya botiq , bunda . Shuning uchun funksiya uchun [5] tengsizlik bajariladi

Bu yerdan

yoki

Shuning uchun, bo’lganda

Demak, ixtiyoriy son uchun
III - lemma. uchun ta’rifidagi yuqori chegara (2.1.4) eri-shiladi va funktsiyasi to’plamda Borel o’lchanadigan bo’ladi o’zgaruv-chilar .
III – lemmain isboti. Kompaktlar orasidagi masofa funksiyasini ko’rib chiqiladi (2.3);

Bu funksiya to’plam uzluksizdir. ga ekvivalent tengdur. Shuning uchun (2.1.4) sonlar ketma-ketligi borligini bildiradi, shunda va
Demak, ( )ning chekliligini hisobga olsak, bundan kelib chiqadi funksiya ta'rifidagi yuqori chegaraga (2.1.2) erishiladi.
A funktsiyaning darajalar to’plamini ko’rib chiqamiz :

Bu to’plam ochiq ekanligini ko’rsatamiz va shuning uchun ham Borel, har qanday ijobiy raqam uchun . Bu Borel[23] funktsiyasini bildiradi ma’nosida o’lchanadi.
Musbat raqamini aniqlang va ixtiyoriy nuqtani olamiz . Demak, bu nuqta uchun tengsizlik . funksiyaning uzluksizligi bundaylarni mavjudligini kafolatlaydi nuqtaning qo’shnisi shunday bo’lsinki, tengsizlik bacha uchun, ya’ni barcha uchun amal qiladi . ochiq to’plamni bildiradi, bu 3-lemmaning isbotini to’ldiradi.