Zahiriddin muhammad bobur nomli andijon davlat universiteti fizika matematika fakulteti

2-§. METRIK FAZODA KOMPAKT TO‘PLAMLAR
Kompakt to‘plam ta’rifi, misollar.
To‘g‘ri chiziqning ajoyib xossalaridan biri shuki, undagi chegaralangan har qanday cheksiz to‘plam kamida bitta limit nuqtaga ega. Bu fakt Bolsano-Veyershtrass teoremasida o‘z ifodasini topgan. Lekin ixtiyoriy metrik fazoda bunday sodda natija, umuman aytganda, o‘rinli emas. SHuning uchun quyidagi savolning qo‘yilishi tabiiy: Metrik fazoda qanday to‘plamlar sinfi uchun Bolsano-Veyershtrass teoremasining mazmuni saqlanadi? savol munosabati bilan quyidagi muhim ta’rifni kiritamiz.
1-ta’rif. X metrik fazodagi M to‘plamning elementlaridan tuzilgan ixtiyoriy ketma-ketlikdan yaqinlashuvchi qism ketma-ketlik ajratib olish mumkin bo‘lsa, u holda M to‘plam X da kompakt deyiladi.
Misollar. 1) YUqorida keltirilgan, to‘g‘ri chiziqdagi har qanday kesma;
2) Tekislikdagi r>0 radiusli yopiq shar;
3) Tekislikda koordinatalari axb, cyd shartlarni qanoatlantiruvchi (x;y) nuqtalar to‘plami kompakt to‘plamlar bo‘ladi.
Kompakt to‘plam bo‘lishining zaruriy shartlari.
1-teorema.Kompakt to‘plam chegaralangan bo‘ladi.
Isboti.M kompakt to‘plam bo‘lib, chegaralanmagan bo‘lsin deb faraz qilamiz. M dan ixtiyoriy x₁ nuqtani olib, radiusi r₁=1 ga teng S(x₁,r₁) sharni ko‘ramiz. M chegaralanmaganligi uchun u bu sharda to‘la joylashgan bo‘lmaydi. M to‘plamning S(x₁,r₁) sharga kirmagan biror x₂ elementini olamiz. U holda (x₁,x₂)r₁. Co‘ngra radiusi r₂= (x₁,x₂)+1 ga teng S(x₂,r₂) sharni qurib, M to‘plamning bu sharga kirmagan x₃ elementini olamiz. Bunday element mavjud, chunki M chegaralanmagan to‘plam va (x₁,x₃)r₂. Bu jaryonni cheksiz davom ettiramiz. Natijada {x_n} (x_nM) ketma-ketlik va o‘sib boruvchi {r_n} sonli ketma-ketlik hosil bo‘lib, ular uchun ushbu
(x₁,x_n)+1 = r_n> r_n-1 (n=1,2,)
tengsizliklar bajariladi.
Endi ixtiyoriy n>m2 natural sonlar uchun
(x₁,x_n)+1 = r_n> r_n-1  r_m; (x₁,x_m)+1 = r_m
munosabatlar o‘rinli. Bulardan va quyidagi
( x₁,x_n)(x₁,x_m)+ (x_m,x_n)
tengsizlikka asosan ushbu
r_n r_m+(x_m,x_n),
demak(x_m,x_n)1 munosabat kelib chiqadi.
Oxirgi tengsizlikdan {x_n} ketma-ketlikning o‘zi ham va uning biror qismi ham fundamental bo‘la olmasligi, ya’ni yaqinlashuvchi bo‘la olmasligi kelib chiqadi. Bu esa M to‘plamning kompaktligiga zid. Teorema isbot bo‘ldi.
Bu teoremaning teskarisi o‘rinli emas. Masalan, l₂ fazoda ushbu e₁= (1, 0, 0, 0, ), e₂ = (0, 1, 0, 0,  ), e₃ = (0, 0, 1, 0,  ),  elementlardan iborat chegaralangan to‘plamni tuzamiz. Bu elementlarning ixtiyoriy ikkitasi orasidagi masofa (e_m,e_n)= ga teng (mn). SHuning uchun bu ketma-ketlik va uning hech qanday qismi yaqinlashuvchi bo‘lmaydi, demak, tuzilgan to‘plam kompakt emas.