Zahiriddin muhammad bobur nomli andijon davlat universiteti fizika matematika fakulteti

Separabel bo‘lmagan fazoga misol.
Endi m fazoning separabel emasligini isbotlaymiz. Buning uchun to‘plamni qaraymiz. M to‘plamning har bir elementi m fazoga tegishli ekanligi ravshan. M to‘plamning ixtiyoriy ikkita elementi orasidagi mafosa 1 ga teng. M to‘plamning quvvati kontinuumga teng, haqiqatdan ham , har bir M to‘plamdan olingan har bir nuqtaga ikkilik kasrni mos qo‘yamiz. Bu moslik o‘zaro bir qiymatli. Ravshanki, barcha ikkilik kasrlar to‘plamining quvvati kontinuumga teng.
Endi m separabel bo‘lsin deb faraz qilamiz. U holda m ning hamma erida zich bo‘lgan A to‘plam mavjud bo‘ladi. A to‘plamning har bir elementi atrofida radiusi ga teng bo‘lgan sharni olamiz. U holda bu sharlarning birlashmasida m fazoning hamma elementlari joylashgan bo‘ladi. Ammo sharlarning soni ko‘pi bilan sanoqli bo‘lganligi sababli M to‘plamning kamida ikkita x va u elementi bitta sharga tegishli bo‘ladi. SHu sharning markazi nuqtada bo‘lsin. U holda
ziddiyat kelib chiqadi. Bu ziddiyat m to‘plamning separabel emasligini isbotlaydi.
Teorema. Aytaylik, separabel metrik fazo bo‘lsin. U holda bu fazoning ixtiyoriy X₀ qism to‘plami ham metrikaga nisbatan separabel metrik fazo bo‘ladi.
Isboti. separabel fazo bo‘lganligi uchun sanoqli to‘plam mavjud bo‘lib, bo‘ladi.
Ushbu belgini kiritamiz:
bo‘ladi.
Ixtiyoriy n,k natural sonlar uchun infimumning xossalariga ko‘ra shunday nuqta topiladiki, , Biror sonni olaylik va shartni qanoatlantirsin. (1) to‘plam X ning hamma erida zich bo‘lganligi sababli ixtiyoriy uchun shunday n topiladiki,
bo‘ladi.
Demak,

U xolda

SHunday qilib, ixtiyoriy nuqtaning ixtiyoriy atrofi ko‘rinishdagi nuqta mavjud. YA’ni ko‘rinishdagi to‘plam fazoning hamma erida zich. Demak, separabel metrik fazo.