Зако́н Берну́лли[1] также уравне́ние Берну́лли

Интеграл Бернулли в баротропных течениях
Основная статья: Баротропность
Уравнение Бернулли может быть выведено и из уравнения движения жидкости^{[K 2][K 3]}. При этом течение предполагается стационарным и баротропным. Последнее означает, что плотность жидкости или газа не обязательно постоянна (как у предполагавшейся ранее несжимаемой жидкости), но является функцией только давления: ρ = ρ ( p ) , что позволяет ввести функцию давления^[22] P = ∫ d p ρ ( p ) . В этих предположениях величина
v 2 2 + g h + P = const
постоянна вдоль любой линии тока и любой вихревой линии. Соотношение справедливо для течения в любом потенциальном поле, при этом g h заменяется на потенциал массовой силы φ .
Вывод интеграла Бернулли для баротропного течения
Для безвихревых баротропных течений, скорость которых может быть выражена в виде градиента потенциала скорости v → = grad ⁡ ψ , интеграл Бернулли в виде ∂ ψ ∂ t + ( grad ⁡ ψ ) 2 2 + g h + P = c o n s t ^{[K 4]} сохраняется также в нестационарных течениях, причём постоянная в правой части имеет одинаковое значение для всего течения^[25].
Формула Сен-Венана — Ванцеля
Если в течении совершенного газа выполняется адиабатический закон^[26]
p = p 0 ρ 0 γ ρ γ , ρ = ρ 0 p 0 1 / γ p 1 / γ , P = − γ γ − 1 p 0 ρ 0 [ 1 − ( p p 0 ) ( γ − 1 ) / γ ] ,
то уравнение Бернулли выражается так^[27] (вкладом от силы тяжести обычно можно пренебречь):
v 2 2 − γ γ − 1 p 0 ρ 0 [ 1 − ( p p 0 ) ( γ − 1 ) / γ ] = c o n s t вдоль линии тока или вихревой линии. Здесь
γ = C p C V  — показатель адиабаты газа, выражающийся через теплоёмкости при постоянном давлении и при постоянном объёме,
p , ρ  — давление и плотность газа,
p 0 , ρ 0  — условно выбранные постоянные (одинаковые для всего течения) значения давления и плотности.
С помощью полученной формулы находят скорость газа, вытекающего из сосуда с высоким давлением через малое отверстие. Удобно давление и плотность газа в сосуде, скорость газа в котором равна нулю, принять за p 0 , ρ 0 , тогда скорость истечения выражается через внешнее давление p по формуле Сен-Венана — Ванцеля^[28]:
v 2 = 2 γ γ − 1 p 0 ρ 0 [ 1 − ( p p 0 ) ( γ − 1 ) / γ ] .