Закон сохранения импульса. Закон сохранения полной механической энергии частицы

Мощностью называется работа силы в единицу времени:
.
Очевидно, единицей измерения мощности в СИ служит 1 Дж/с = 1 Вт (Ватт). Сделаем в последнем выражении замену (3.2):
.
Считая силу в течение малого (элементарного) промежутка времени неизменной, получим:
.
Поскольку , . По определению скалярного произведения . Так как (проекция вектора силы на направление вектора скорости), .
Кинетическая энергия. Кинетической энергией частицы называется энергия, обусловленная ее движением. Из основного уравнения динамики частицы имеем:
,
где - масса частицы, - ее скорость, - действующая на нее сила. Умножим последнее равенство скалярно на :
.
Поскольку , имеем:
.
Если рассматривать производную как отношение дифференциалов и вынести за знак скалярного произведения множители и , то
.
По определению скалярного произведения , . Поэтому последнее равенство можно переписать следующим образом:


. (3.2А)

Легко видеть, что левую часть (3.2А) можно представить как дифференциал функции

, (3.4)
которая называется кинетической энергией частицы. Действительно,
.
Сделав в (3.2а) замену , приходим к равенству
, (3.4А)
выражающему содержание теоремы о кинетической энергии: изменение кинетической энергии частицы равно работа внешней силы.
Консервативные силы. Консервативными называются силы, работа которых не зависит от траектории движения частицы между двумя определенными точками. Нетрудно показать, что работа консервативных сил при движении по любой замкнутой траектории равна нулю. Для этого разделим произвольно выбранную замкнутую линию, по которой перемещается частица, на две части точками 1 и 2 (рис. 3.3). В соответствии

Рис. 3.3

с этим . Здесь - работа по замкнутой траектории, - работа при перемещении частицы от точки 1 к точке 2 по верхней части, - работа при перемещении от точки 2 к точке 1 по нижней части траектории. Поскольку работа не зависит от формы траектории, величину можно представить как - . Действительно, на верхнем участке траектории в произвольно выбранной точке вектор силы образует острый угол с вектором перемещения (частица движется от точки 1 к точке 2). Поэтому

.

При движении по этому же участку в обратном направлении угол между вектором силы и вектором перемещения в этой же точке траектории становится тупым. Соответственно

.
Поскольку ,


, .

Такая же ситуация имеет место в каждой точке верхней части траектории. Следовательно, , а работа при движении по замкнутой траектории .

Силы, действующие на тела механической системы, имеют различную природу. В одном случае тела находятся в контакте и воздействуют друг на друга непосредственно. В других ситуациях взаимодействуют удаленные тела, например – наша планета Земля и ее искусственный спутник. Прошли столетия, прежде чем в физике установилась полевая интерпретация взаимодействия удаленных тел. Иначе говоря, удаленные тела воздействуют друг на друга посредством различных силовых полей – гравитационного, электромагнитного и т.п. В рамках такого подхода взаимодействие можно представить следующим образом. Одно из тел создает в окружающем пространстве поле, действующее на второе тело. Аналогично, второе тело также создает поле, воздействующее на первое тело. Если в каждой точке поля сила, действующая на определенное тело, одинакова по модулю и направлению, поле называется однородным; если сила не изменяется с течением времени, поле называется стационарным.
Нетрудно показать, что однородное стационарное поле является консервативным. Для этого найдем работу, совершаемую силами такого поля, при перемещении частицы вдоль криволинейной траектории из

Рис. 3.4

точки 1 в точку 2 (рис. 3.4). Для вычисления работы разобьем траекторию на малых частей, и каждую из них заменим отрезком прямой. Иначе говоря, в кривую впишем ломаную. Тогда работа на -ом участке , а работа, совершаемая на всей траектории, представляет собой сумму:
.
Поскольку в каждой точке траектории сила одинакова (поле однородно), вектор можно вынести за знак суммы:
. (3.5)
Легко видеть, что
. (3.6)
Сделав в (3.5) замену (3.6), получим, что . Это означает, что работа сил однородного стационарного поля не зависит от формы траектории, но определяется положением ее начальной и конечной точек. Следовательно, однородное стационарное поле является консервативным.
В качестве примера найдем работу силы тяжести при перемещении частицы массой из точки 1 в точку 2 вблизи поверхности Земли (рис. 3.5). Поскольку силовое поле однородно, работу найдем как скалярное произведение: . На рис. 3.5 видно, что , где и - удаление точек 1 и 2 от поверхности Земли. Следовательно,


. (3.7)

Рис. 3.5


Центральные силы. Силовое поле, в каждой точке которого линия действия силы проходит через неподвижную точку (центр), а модуль силы зависит только от расстояния до центра, называется центральным полем. Соответственно силы, действующие на тела в центральном поле, называются центральными силами. В качестве примера можно упомянуть гравитационные силы, действующие на Землю и другие планеты солнечной системы со стороны солнца. Можно показать, что центральное силовое поле, как и однородное поле, является консервативным.
Потенциальная энергия частицы. Для того чтобы сформулировать определение потенциальной энергии, необходимо дать определением функции трех переменных и ее частных производных.
Переменная называется функцией независимых переменных если каждой тройке численных значений этих переменных из одного множества поставлено в соответствие по определенному закону единственное значение переменной из другого множества: . Если переменной дать приращение , функция получает частное приращение . Конечный предел (если он существует) отношения частного приращения к приращению называется частной производной функции по переменной :
.
По аналогии имеем:
, ,
, .

Легко видеть, что частные производные функции характеризуют быстроту изменения переменной при изменении каждой их трех независимых переменных .

Поставим в соответствие каждой точке поля консервативных сил значение функции следующим образом. Произвольно выбранной точке поля сопоставим произвольное значение . Значение функции в точке 1 будем полагать равным сумме:
, (3.7А)
где - работа сил поля при перемещении частицы из точки 1 в точку (рис. 3.6). Аналогично значение функции в точке 2:
. (3.8)
Поскольку частица перемещается в поле консервативных сил,
. (3.9)
Сделав в (3.8) замену (3.9), получим:
.
Далее найдем разность:
.
Сумма в правой части последнего выражения представляет собой работу сил поля при перемещении частицы из точки 1 в 2 через точку . Так как поле консервативно, ; поэтому
. (3.10)
Функция называется потенциальной энергией частицы в консервативном силовом поле.

Рис. 3.6

Таким образом, работа сил поля численно равна разности значений потенциальной энергии частицы в точках 1 и 2, либо изменению потенциальной энергии с противоположным знаком. Сравнение выражений (3.7) и (3.10) показывает, что потенциальную энергию частицы в гравитационном поле Земли можно вычислять по формуле , отсчитывая от любого произвольно выбранного уровня, на котором энергия полагается равной нулю. Обычно за уровень с нулевой потенциальной энергией принимается поверхность Земли.

Из выражений (3.7А) и (3.8) следует, что фактически потенциальная энергия частицы в силовом поле определяется произвольно, поскольку произвольно выбирается точка с нулевой энергией. Если же учесть, что при решении задач механики в конечные выражения входит только разность значений потенциальной энергии, используемый способ ее определения представляется вполне корректным.
Пусть частица движется в поле консервативных сил. При переходе из точки 1 в точку 2 совершается работа . Вместе с тем эта же работа равна изменению кинетической энергии частицы: . Поэтому , т.е. сумма кинетической и потенциальной энергии частицы (ее полная механическая энергия), движущейся в поле консервативных сил, остается неизменной. Этот вывод составляет сущность закона сохранения полной механической энергии частицы.
Если известна зависимость потенциальной энергии частицы от ее координат, можно найти силу, действующую на нее в поле. Для этого будем полагать, что частица перемещается вдоль оси , в результате чего ее абсцисса получает элементарное приращение . Сила поля при этом совершает работу , где - проекция вектора силы на координатную ось. Согласно (3.10) ; поэтому
. (3.11)
Рассматривая движение частицы по осям и , по аналогии получим:


, . (3.12)
Используя частные производные функции , координаты вектора силы, действующей на частицу, можно представить следующим образом:
, , .
Соответственно вектор силы
. (3.13)
Последнее выражение можно представить в более компактной форме, если использовать оператор Гамильтона, иногда называемый оператором набла:
.
Для того, чтобы подействовать этим оператором на любую скалярную функцию трех переменных, в частности – на функцию , необходимо дописать ее в операторе следующим образом:
. (3.13А)
Сделав в (3.13) замену (3.13А), получим, что .
В результате действия оператора Гамильтона на любую скалярную функцию получается вектор, который называется градиентом этой функции: . Этот вектор, найденный в определенной точке поля, указывает направление, в котором численное значение функции в этой точке возрастает с максимальной быстротой; модуль градиента равен быстроте возрастания.
Таким образом, сила, действующая на частицу в консервативном силовом поле, направлена в сторону быстрейшего убывания потенциальной энергии частицы.