Zanjirli kasrlar. Reja: Uzluksiz zanjir kasr. Chekli zanjir kasr

Zanjirli kasrlar.


Reja:
1. Uzluksiz zanjir kasr.
2. Chekli zanjir kasr.
3. Ratsional sonni chekli zanjir kasrga yoyish.


_{Аsоsiy tushunchаlаr:} Ratsional sonlar va ular ustida amallar. Evklid algoritmi.


1. Uzluksiz zanjir kasr.

Siz kasrlar va undagi bo’ladigan deyarli barcha amallar haqida tushunchaga egasiz. Lekin har qanday kasrlarni zanjirli kasrga aylantirish tushunchasiga batafsil ma’lumotlarga ega emassiz.

Ta’rif. Ushbu
(1)
(a_i(i= ),b_j(j= ) butun sonlar) ko`rinishdagi ifoda uzluksiz zanjir kasr deyiladi. Agar (1) da b<sub>1</sub>=b<sub>2</sub>= ... =b<sub>k</sub>=l, a<sub>0</sub>-butun son, a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>, ...,a<sub>k</sub>-natural sonlar bo`lib a_k>1 bo`lsa, u holda ushbu
(2)
ifodani chekli zanjir kasr deyiladi.
a<sub>0</sub>, a<sub>1</sub>,a<sub>2</sub>, ..., a<sub>k</sub> sonlar chekli zanjir kasrning elementlari deyiladi, (2) ni qisqacha (a<sub>0</sub>, a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>, ...,a<sub>k</sub>) yoki ko`rinishlarda ham belgilanadi.
Teorema. Har qanday ratsional con chekli zanjir kasrga yoyiladi va bu yoyilma yagona bo`ladi.
Isboti. (n1) ratsional son berilgan bo`lsin. m ni n ga qoldiqli bo`lamiz va Evklid algoritmidan foydalanamiz, ya’ni

m=nq₁+r₁ (01
n=r₁q₂+r₂ (021),
r₁=r₂q₂+r₃ (032), (3)
-- -- - - - - - - - - - - -
r_k-2=r_k-1q_k+r_k (0kk-1),
r_k-1=r_kq_r+1

cistemaga ega bo`lamiz. (3) dagi tengliklarning har ikki qismini mos ravishda n, r<sub>1 ,</sub> r<sub>2</sub>...,r<sub>k-1</sub>,r<sub>k</sub> larga ketma-ket bo`lib quyidagi tengliklarni hosil qilamiz:

(4)
(4) sistemadagi tengliklardan


(q_k+1>1) (5)
ifodani hosil qilamiz. (5) ifoda (n1) ratsional sonning chekli zanjir kasrga yoyilmasi bo`ladi. Bu yoyilmaning yagonaligini isbotlashni mustaqil ish uchun ajratamiz.
bo`lsin.

A₀=a₀ deb olaylik. U holda buni nolinchi tartibli munosib kasr deyiladi.

birinchi tartibli munosib kasr deyiladi.
ikkinchi tartibli munosib kasr deyiladi.
........................................................................
A_n=T esa n-tartibli munosib kasr deyiladi.
deb belgilaylik. U holda R₀=a₀, Q₀=l hosil bo`ladi;
desak, u holda R<sub>1</sub>=a<sub>0</sub>a<sub>1</sub>+1,Q=a<sub>1</sub> hosil bo`ladi;
- ikkinchi tartibli munosib kasr;
........................................................................
A_n=T= n- tartibli munosabat kasr.
Shu yo`l bilan
R₀,R₁,R₂,... (6)
Q₀,Q₁,Q₂,... (7)
ketma-ketliklarni hosil qilamiz. Bu ketma-ketliklardan quyidagi rekurrent formulalarni hosil qilamiz:

R_k=P_k-1a_k+R_k-2, (8)

Q_k=Q_k-1 a_k+Q_k-2. (9)