Ўзбекистон миллий университети ҳузуридаги илмий даражалар берувчи dsc. 03/30. 12. 2019. Fm. 01. 01 Рақамли илмий кенгаш математика институти
Download 0.68 Mb. Pdf ko'rish
|
Автореферат Ботиров
- Bu sahifa navigatsiya:
- Спин қийматлари саноқсиз тўпламидан бўлган моделлар учун трансляцион-инвариант бўлмаган Гиббс ўлчовлари »
- Мисол.
- Теорема 14.
- Теорема 15.
|
Теорема 6. Учинчи тартибли Кэли дарахтида аниқланган (6) модел учун қуйидаги тасдиқлар ўринли: а) агар 9 5 0 ≤ ≤ θ тенгсизлик ўринли бўлса, у ҳолда трансляцион- инвариант Гиббс ўлчови ягона; б) агар 1 9 5 < < θ
тенгсизлик ўринли бўлса, у ҳолда трансляцион- инвариант Гиббс ўлчовлари учта. Иккинчи бобнинг учинчи параграфида ихтиёрий тартибли Кэли дарахтида аниқланган модел учун фаза алмашишлари кўрсатилган. Яъни, 1 , 2 = ≥ n k
учун 𝑉𝑉 𝑘𝑘,1 : (𝑥𝑥, 𝑦𝑦) ∈ ℝ 2 → (𝑥𝑥
′ , 𝑦𝑦
′ ) ∈ ℝ
2
оператор ушбу кўринишга эга бўлади: 2 ≥ k
жуфт тартибли Кэли дарахтларида 3 ≥ k
тоқ тартибли Кэли дарахтларида ( )
( ) ( )
( ) = = = ∑ ∑ − = − = − 1 ,..., 3 , 1 3 ,...,
2 , 0 3 2 3 ' 2 3 ' ) , ( k l k l k l k l k l k l k l B y x l k y l A y x l k x y x V θ θ ( )
( ) ( )
( ) = = = ∑ ∑ − = − = − 1 ,..., 2 , 0 3 ,...,
3 , 1 3 2 3 ' 2 3 ' ) , ( k l k l k l k l k l k l k l B y x l k y l A y x l k x y x V θ θ Тасдиқ 7. а) Агар 5 0 3k θ ≤ ≤ бўлса, у ҳолда 𝑘𝑘-тартибли Ҳаммерштейн интеграл оператори ягона мусбат қўзғалмас нуқтага эга; б) Агар 5 1 3k θ
бўлса, у ҳолда 𝑘𝑘-тартибли Ҳаммерштейн интеграл оператори фақат учта мусбат қўзғалмас нуқтага эга.
Агар 5 0 3k θ ≤ ≤
бўлса, 7-тасдиққа кўра H k
оператор ягона қўзғалмас ( ) 1 ) ( 1 ≡ = t t ϕ ϕ нуқтага эга бўлади. Агар 5 1
θ < < бўлса, у ҳолда бу оператор қуйидаги мусбат қўзғалмас нуқталарга эга бўлади: 1 ) ( 1 ≡ t ϕ , ( ) , 2 1 4 3 0 0 2 − + =
y x t θ ϕ ( )
3 0 0 2 2 1 4 − − = t y x t θ ϕ . 16
қуйидагилар ўринли: а) агар 5 0 3k θ ≤ ≤ тенгсизлик бажарилса, у ҳолда трансляцион- инвариант Гиббс ўлчови ягона; б) агар 5 1 3k θ
тенгсизлик бажарилса, у ҳолда трансляцион- инвариант Гиббс ўлчовлари учта. Иккинчи бобнинг тўртинчи параграфида 2-тартибли Кэли дарахтида аниқланган модел учун фаза алмашишлари кўрсатилган. Яъни, 2, 1 k n = ≥ бўлганда 𝑉𝑉 2,𝑛𝑛 : (𝑥𝑥, 𝑦𝑦) ∈ ℝ 2 → (𝑥𝑥
′ , 𝑦𝑦
′ ) ∈ ℝ
2
оператор ушбу кўринишга эга бўлади: ⋅ ⋅ + + ⋅ = ⋅ + + + = + y x n n y y n n x x n θ θ 3 2 1 2 2 ' , 4 3 2 1 2 ' 2 2 1 2 2 Тасдиқ 9. а) Агар ) 1 2 ( 2 3 2 0 + + ≤ ≤ n n θ
бўлса, у ҳолда 2-тартибли Ҳаммерштейн интеграл оператори ягона мусбат қўзғалмас нуқтага эга; б) Агар 1 ) 1 2 ( 2 3 2 < < + + θ n n бўлса, у ҳолда 2-тартибли Ҳаммерштейн интеграл оператори фақат учта мусбат қўзғалмас нуқтага эга.
Агар ) 1 2 ( 2 3 2 0 + + ≤ ≤ n n θ
ўринли бўлса, у ҳолда 9-тасдиққа кўра H
оператор ягона қўзғалмас ( )
1 ) ( 1 ≡ = t t ϕ ϕ нуқтага эга бўлади. Агар 1 )
2 ( 2 3 2
< + + θ n n бўлса,
у ҳолда бу оператор қуйидаги мусбат қўзғалмас нуқталарга эга бўлади: 1 ) ( 1 ≡ t ϕ
ва , 2 1 2 1 2 ) 3 2 ( ) 1 2 ( 2 1 ) 1 2 ( 2 3 2 ) ( 1 2 2 − ⋅ + + − ⋅ + + ⋅ ⋅ + + = +
t n n n n n t θ θ ϕ
2 1 3 2 3 2(2
1) (2 3) 1 ( )
1 2 . 2(2 1) 2 1 2
n n n t t n n θ ϕ θ + + + ⋅ − + = ⋅ −
⋅ − + ⋅ +
Теорема 10. Учинчи тартибли Кэли дарахтида аниқланган (6) модел учун қуйидагилар ўринли: а) агар ) 1 2 ( 2 3 2 0 + + ≤ ≤ n n θ
тенгсизлик бажарилса, у ҳолда трансляцион- инвариант Гиббс ўлчови ягона; 17
агар 1 ) 1 2 ( 2 3 2 < < + + θ n n ўринли бўлса, у ҳолда трансляцион-инвариант Гиббс ўлчовлари учта. Диссертациянинг « Спин қийматлари саноқсиз тўпламидан бўлган моделлар учун трансляцион-инвариант бўлмаган Гиббс ўлчовлари» деб номланувчи учинчи бобида маълум Гиббс ўлчовлари ёрдамида янги Гиббс ўлчовларининг континуум тўпламлари қурилган. Учинчи бобнинг биринчи параграфида зарурий таърифлар берилган ҳамда маълум Гиббс ўлчовларидан АRТ (H.Akin, U.Rozikov, S.Temir) конструкцияси ёрдамида янги Гиббс ўлчовларининг континуум тўпламлари ҳосил қилинган. Изинг модели учун k
тартибли Кэли дарахтидаги маълум Гиббс ўлчовларидан фойдаланиб k>k 0
тартибли Кэли дарахтида янги Гиббс ўлчовларини қуриш конструкцияси дастлаб, Ҳ.Акин, Ў.Розиқов ва С.Темирларнинг илмий ишларида берилган.
Ихтиёрий тартибли Кэли дарахтида (6) модел учун барча Гиббс ўлчовлари тўпламини ) (H G k
билан белгилаймиз. Теорма 11. Ихтиёрий ,...}
3 , 2 { , 0 ∈ k k , 0
k >
сонлар берилган бўлсин. Агар 2 ) ( 0 ≥ H G k бўлиб, ) , ( u t K учун ( ) ] 1 , 0 [ , 0 ) , 0 ( ) , ( 1 0 ∈ ∀ = − ∫ t du u K u t K , (13) ўринли бўлса, у ҳолда ихтиёрий ) ( 0 H G k ∈ µ учун ( )
) (H G k ∈ = µ ν ν Гиббс ўлчови мавжуд. Мисол. Айтайлик, 2 = k
ва (6) моделдаги 𝜉𝜉 𝑡𝑡𝑢𝑢
функция ушбу кўринишда бўлсин: 5 1 1 1 ln 1 4 , , [0,1]. 2 2 tu t u t u J ξ θ β = + ⋅
− − ∈ У ҳолда Ҳаммерштейн интеграл операторининг ядроси қуйидагича бўлади: 5 1
( , ) 1 4 , , [0,1].
2 2
t u t u θ = + ⋅ − − ∈
Диссертациянинг иккинчи бобида берилган модел учун (13) тенглик ўринли бўлганда камида учта Гиббс ўлчовлари мавжудлиги кўрсатилган. Учинчи бобнинг иккинчи параграфида маълум Гиббс ўлчовларидан фойдаланиб, Блехер-Ғаниходжаев (Bleher-Ganikhodjaev) конструкцияси ёрдамида янги Гиббс ўлчовларининг континуум тўплами ҳосил қилинган. k ℑ
Кэли дарахтини k 0 ℑ ва
k 1 ℑ каби иккита дарахтга ажратиб оламиз. Биз k 0 ℑ ярим дарахтни қараймиз ва 0
билан унинг учлари тўпламини белгилаймиз. 18
Ушбу кўринишда ( )
( ) x t f x t h , ln , =
белгилаш киритиб (8) тенгликни қуйидагича ифодалаймиз:
( )
( ) ( )
∑ ∫ ∫ ∈ = ) ( 1 0 , 1 0 , ) , 0 ( ) , ( ln , x S y y u h y u h k du e u K du e u t K x t h
(14) У ҳолда (14) га кўра (8) формула билан аниқланган узлуксиз функция қуйидаги чизиқсиз интеграл оператор орқали ифодаланади: ( )
( ) ( )
1 0 1 0 ( , )
ln (0, )
f u f u K t u e du Af t K u e du = ∫ ∫ ,
(15) бу ерда
0 ) , ( >
t K .
12- ШАРТ. Фараз қилайлик [ ]
2 1 , 0
тўпламда 0 ) , ( >
t K
узлуксиз бўлиб, шундай [ ) 1 , 0 ∈ ≡
α α
мавжуд бўлсинки, қуйидаги тенгсизлик бажарилсин: ( )
( ) ( ) ( )
]. 1 , 0 [ ], 1 , 0 [ , , ∈ ∀ ∈ ∀ − ≤ − t C g f t g t f t Ag t Af α
13- ШАРТ. Фараз қилайлик, (14) тенгламанинг иккита ( ) ( )
[ ] 1 , 0 ,
t h x t h ∈ ≡ ва
( ) ( ) ] 1 , 0 [ , C t x t h ∈ ≡ η
трансляцион-инвариант ечимлари мавжуд бўлсин. Изоҳ. Агар 12-ШАРТ бажарилса, у ҳолда 13-ШАРТ фақат 1 1 < ≤ α k
бўлгандагина бажарилади. Биз ) (t h
ва ) (t η
ечимларини топамиз. Айтайлик, ...} {
0 0
< = = x x x π
чексиз йўл бўлсин (ушбу y x <
белгилаш билан y га x орқали борувчи йўлни ифодалаймиз). Бу йўлга мос ]} 1 , 0 [ , : { 0 , ∈ ∈ =
V x h h x t π π сонлар тўпламини аниқлаймиз:
= ∈ ∈ = , if , , , if ), ( , , if ), ( , , n x t n n n n x t x x h W x x x t W x x x t h h n η π
(16) n=1,2,…. бу ерда
n x x (мос равишда x x n ) маъноси x нуқта π
(мос равишда ўнг) томонида турганлигини англатади.
ихтиёрий чексиз π
йўл учун (14) ва (16) ни қаноатлантирувчи ягона } { , π π x t h h =
сонлар тўплами мавжуд бўлади. 19
ихтиёрий 𝑟𝑟 ∈ [0,1] учун шундай 𝜈𝜈 𝑟𝑟
трансляцион-инвариант бўлмаган Гиббс ўлчови мавжуд. Шунингдек, 𝑟𝑟 ≠ 𝑙𝑙 учун 𝜈𝜈 𝑟𝑟 ≠ 𝜈𝜈 𝑙𝑙 ўринли. Учинчи бобнинг учинчи параграфида маълум Гиббс ўлчовларидан фойдаланиб, Захари (Zachary) конструкцияси бўйича янги Гиббс ўлчовларининг континуум тўпламлари қурилган. Download 0.68 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|