Ўзбекистон миллий университети ҳузуридаги илмий даражалар берувчи dsc. 03/30. 12. 2019. Fm. 01. 01 Рақамли илмий кенгаш математика институти

Теорема  23.    Ихтиёрий 

)

(

,

,

i

l

n

m

C

 

синф  ва 

)

(

,

,

i

l

n

m

b

C

∈

σ

 

чегараланган 

конфигурация  учун  даври  4  дан  катта  бўлмаган  шундай  даврий 

ϕ

 

конфигурация мавжудки 

M

b

∈

′

 

ва 

b

b

σ

ϕ

=

 

учун 

)

(

,

,

i

l

n

m

b

C

∈

′

ϕ

 

бўлади. 

Таъриф 24. Агар 

σ

  конфигурация  учун  ихтиёрий  𝑏𝑏 ∈ 𝑀𝑀  шар  олинганда 

ҳам 

𝑈𝑈(𝜎𝜎

𝑏𝑏

) = min {𝑈𝑈

𝑖𝑖,𝑘𝑘

(𝑚𝑚, 𝑛𝑛, 𝑙𝑙, 𝐽𝐽

1

, 𝐽𝐽

2

): 𝑖𝑖 = 1,2,3,   𝑚𝑚, 𝑛𝑛, 𝑙𝑙 ∈ ℤ

+

,

0 ≤ 𝑚𝑚 + 𝑛𝑛 + 𝑙𝑙 ≤ 𝑘𝑘 + 1,

𝐽𝐽

1

, 𝐽𝐽

2

∈ ℝ} 

ўринли бўлса, бу конфигурация Ҳамилтонианнинг асосий ҳолати дейилади. 

Қуйидагича белгилаш киритамиз:

 

 

,

1

2

,

1

2

,

1

2

( , , ) = {( ,

) :

( , , ,

,

)

(

, , ,

,

),

i k

i k

j k

A

m n l

J J

U

m n l J J

U

m n l J J

′ ′ ′

≤

 

                               

ихтиёрий 𝑚𝑚

′

, 𝑛𝑛

′

, 𝑙𝑙

′

∈ ℤ

+

},     𝑖𝑖 = 1,2,3,4. 

)

(H

GS

 

орқали барча асосий ҳолатлар тўпламини белгилаймиз. 

Теорема 25. (i) Агар 𝐽𝐽

1

= 𝐽𝐽

2

= 0 бўлса, у ҳолда 

Ω

=

)

(H

GS

. 

(ii) 

Агар  (𝐽𝐽

1

, 𝐽𝐽

2

) ∈ 𝐴𝐴

𝑖𝑖,𝑘𝑘

(𝑚𝑚, 𝑛𝑛, 𝑙𝑙)  бўлса,  у  ҳолда 

( )

, ,

4

(

) = { (

) :

}

i

m n l

GS H

S

π σ

π

∈

 

бўлади.  Бу  ерда 

Ω

∈

)

(

,

,

i

l

n

m

σ

, 

яъни 

1,2,3,4

=

1,

0

,

i

k

l

n

m

M

b

+

≤

+

+

≤

∈

 

учун 

)

(

,

,

)

(

,

,

)

(

i

l

n

m

b

i

l

n

m

Ω

∈

σ

 

бўлади. 

Тўртинчи бобнинг тўртинчи параграфида учинчи тартибли Кэли дарахтида 

спин  қийматлари  саноқли  бўлган  ўзаро  рақобатлашувчи  Поттс  модели  учун 

асосий ҳолатлар топилган. 

 

Айтайлик 

*

k

G

 

индекси 

1

r

≥

 

бўлган  қисм  группа  бўлсин. 

{

}

*

1

2

/

,

,...,

k

k

r

G

G

H H

H

=

 

фактор группани қараймиз. 

 

Таъриф  26.  Агар  ихтиёрий 

i

x

H

∈

 

учун  ( )

i

x

σ

σ

=  

ўринли  бўлса,

 

( )

x

σ

 

конфигурацияга 

*

k

G

-

даврий конфигурация дейилади. 

k

G -

даврий конфигурация 

эса трансляцион-инвариант дейилади. 

 

Таъриф  27.  Aгар  ихтиёрий   

i

x

H

∈

 

ва 

j

x

H

↓

∈

  ( x

↓

 

нуқта  x   нуқтадан 

пастда турган нуқтани ифодалайди) учун 

( )

ij

x

σ

σ

=

 

бўлса, 

( )

x

σ

 

конфигурация 

*

k

G

-

кучсиз даврий дейилади. 

24 

 

 

Учинчи  тартибли  Кэли  дарахтида  спин  қийматлар  тўплами  саноқли 

бўлган Поттс моделини қараймиз.  

Ихтиёрий 

b

σ

 

учун 

( ) {

}

1

2

12

,

,...,

b

U

U U

U

σ

∈

 

ушбу кўринишда ифодаланади:  

1

1

2

= 2

6

,

U

J

J

+

 

2

1

2

3

=

3

,

2

U

J

J

+

 

3

1

2

=

2

,

U

J

J

+

 

4

1

2

1

=

3

,

2

U

J

J

+

 

5

2

= 6

,

U

J

 

6

1

1

=

2

U

J

, 

7

2

= 3

,

U

J

 

8

2

=

,

U

J

 

9

1

2

=

U

J

J

+ , 

10

1

2

1

=

,

2

U

J

J

+

 

11

2

= 2

,

U

J  

12

= 0

U

. 

Бу  белгилашлардан  фойдаланиб,  Ҳамилтонианнинг  асосий  ҳолатини 

қуйидагича таърифлаш мумкин.   

Таъриф  28.  Ихтиёрий 

b

M

∈

учун 

( )

{

}

1

2

12

min

,

,...,

b

U

U U

U

ϕ

=

 

бўлса, 

ϕ

 

конфигурация Ҳамилтонианнинг асосий ҳолати дейилади. 

Кўриш  мумкинки,  агар 

, = 1, 2,

,12

b

i

C i

σ

∈



 

бўлса,  у  ҳолда 

}

=

)

(

:

{

=

i

b

b

i

U

U

C

σ

σ

 

ва 

)

,

(

=

)

(

J

U

J

U

b

i

σ

 

ўринли бўлади. 

 

Ихтиёрий 

1, 2,...,12

i

=

 

учун ушбу  

2

1

2

12

= {

:

min{

( ),

( ),

,

( )}}

i

i

A

J

R

U

U J U

J

U

J

∈

=



 

тўпламга эга бўламиз.  

Қуйидагича 

белгилашларни 

киритамиз 

,

,

5

1

0

2

1

A

A

B

A

A

B

∩

=

∩

=

,

,

6

9

2

9

2

1

A

A

B

A

A

B

∩

=

∩

=

 

,

12

6

3

A

A

B

∩

=

 

),

(

\

~

0

1

1

B

B

A

A

∪

=

 

),

(

\

~

1

0

2

2

B

B

A

A

∪

=

 

),

(

\

~

7

0

5

5

B

B

A

A

∪

=

 

),

(

\

~

3

2

6

6

B

B

A

A

∪

=

 

),

(

\

~

2

1

9

9

B

B

A

A

∪

=

 

ва 

).

(

\

~

7

3

12

12

B

B

A

A

∪

=

 

)

(H

GS

 

барча асосий ҳолатлар, 

)

(H

GS

p

 

эса даврий асосий 

ҳолатлар тўплами.  

 

Теорема  29.  Ихтиёрий 

i

C , 

= 1, 2,...,12

i

 

синф  ва 

i

b

C

∈

σ

 

чегараланган 

конфигурация  учун,    шундай 

ϕ

 

даврий  конфигурация  мавжудки  (Кэли 

дарахтида), ихтиёрий 

M

b

∈

′

 

ва 

b

b

σ

ϕ

=

 

учун 

i

b

C

∈

′

ϕ

 

ўринли бўлади. 

 

Теорема 30. A. Агар 

)

0

,

0

(

=

J

 бўлса, у ҳолда 

Ω

=

)

(H

GS

. 

B. 1. 

Агар 

1

~

A

J

∈

 бўлса, у ҳолда 

{

}

Φ

∈

=

i

H

GS

i

p

:

)

(

)

(

ϕ

.  

2. 

Агар 

2

~

A

J

∈

 

бўлса, у ҳолда 

{

}

m

l

m

l

H

GS

lm

p

≠

Φ

∈

=

,

,

:

)

(

)

(

2

ϕ

. 

3. 

Агар 

5

~

A

J

∈

 

бўлса, у ҳолда 

{

}

m

l

m

l

H

GS

lm

p

≠

Φ

∈

=

,

,

:

)

(

)

(

5

ϕ

. 

4. 

Агар 

6

~

A

J

∈

бўлса, у ҳолда 

{

}

n

m

p

l

p

n

m

l

H

GS

lmnp

p

≠

≠

≠

Φ

∈

=

,

,

,

,

:

)

(

)

(

6

ϕ

. 

5. 

Агар 

9

~

A

J

∈

бўлса, у ҳолда 

{

}

m

l

m

l

H

GS

lm

p

≠

Φ

∈

=

,

,

:

)

(

)

(

9

ϕ

. 

6. 

Агар 

12

~

A

J

∈

 

бўлса, у ҳолда 

{

}

Φ

∈

=

l

H

GS

l

p

:

)

(

12

ϕ

. 

C. 1. 

Агар 

)

0

,

0

(

\

B

J

∈

 

бўлса, у ҳолда 

{

}

m

l

m

l

i

H

GS

lm

i

p

≠

Φ

∈

=

,

,

,

:

,

)

(

)

(

2

)

(

ϕ

ϕ

. 

2. 

Агар 

)

0

,

0

(

\

0

B

J

∈

 

бўлса, у ҳолда 

{

}

m

l

m

l

i

H

GS

lm

i

p

≠

Φ

∈

=

,

,

,

:

,

)

(

)

(

5

)

(

ϕ

ϕ

. 

3. 

Агар 

)

0

,

0

(

\

1

B

J

∈

 

бўлса, у ҳолда 

{

}

m

l

m

l

i

H

GS

lm

lm

p

≠

Φ

∈

=

,

,

,

:

,

)

(

)

(

9

)

(

2

ϕ

ϕ

. 

25 

 

4. 

Агар 

)

0

,

0

(

\

2

B

J

∈

 бўлс,  у ҳолда 

{

}

p

n

m

l

p

n

m

l

H

GS

lm

lmnp

p

≠

≠

≠

Φ

∈

=

,

,

,

,

:

,

)

(

)

(

9

)

(

6

ϕ

ϕ

. 

5. Агар 

)

0

,

0

(

\

3

B

J

∈

 

бўлса, у ҳолда  

{

}

p

n

m

l

p

n

m

l

H

GS

l

lmnp

p

≠

≠

≠

Φ

∈

=

,

,

,

,

:

,

)

(

)

(

12

)

(

6

ϕ

ϕ

. 

6.  Агар 

8

A

J

∈  

бўлса,  у  ҳолда  ушбу  даврий  конфигурациялар 

l

lmnp

lmn

lmn

lm

12

)

(

8

)

(

7

)

(

7

)

(

5

,

,

,

,

ϕ

ϕ

ψ

ξ

ϕ

 

даврий  асосий ҳолатлар ва 

)

(

7

lmn

ξ

 

кучсиз даврий 

конфигурация  эса  кучсиз  даврий  асосий  ҳолат  бўлади,  бу  ерда 

p

n

m

l

p

n

m

l

≠

≠

≠

Φ

∈ ,

,

,

,

.  

 

26 

 

ХУЛОСА 

Диссертация  иши  спин  қийматлари  тўплами  чексиз  бўлган  панжарали 

системалар учун Гиббс ўлчовларини тадқиқ этишга бағишланган. 

Тадқиқотнинг асосий натижалари қуйидагилардан иборат: 

1

. Ихтиёрий тартибли Кэли дарахтида XY модел учун ҳароратнинг фаза 

алмашишни таъминловчи критик қиймати аниқланган; 

2.  Ихтиёрий  тартибли    Кэли  дарахтида  аниқланган  спин  қийматлари 

тўплами саноқсиз бўлган бир модел учун шундай критик ҳарорат топилганки 

ундан паст ҳароратларда аниқ учта  трансляцион-инвариант Гиббс ўлчовлари 

борлиги исботланган. Иккинчи ва учинчи тартибли Кэли дарахтида бу модел 

учун  трансляцион-инвариант  Гиббс  ўлчовларига  мос  келувчи  ечимларнинг 

кўриниши топилган. 

3. Камида иккита даврий Гиббс ўлчовларига эга бўлган континуум спин 

қийматли, қўшни таъсирли моделлар синфи қурилган. 

4.  Спин  қийматлари  саноқсиз  тўплам  бўлган  моделлар  учун  АRТ  (Akin, 

Rozikov,  Temir),  Блехер-Ғаниходжаев,  Захари  (Zachary)  конструкциялари 

бўйича янги Гиббс ўлчовларининг континуум тўпламлари қурилган.  

5. Кэли дарахтида саноқли спин қийматли SOS (Solid on Solid) модели учун 

градиент Гиббс ўлчовлари топилган. 

6.  Кэли  дарахтида  рақобатлашувчи  ўзаро  таъсирли,  спин  қийматлари 

саноқли  бўлган  Поттс  модели  учун  Гиббс  ўлчовларини  ифодаловчи 

функционал  тенгламалар  системаси  топилган.  Шунингдек,  бу  модел  учун 

кучсиз асосий ҳолатлар (конфигурациялар) қурилган. 

 

 

 

27 

 

SCIENTIFIC COUNCIL AWARDING SCIENTIFIC DEGREES 

DSc.03/30.12.2019.FM.01.01 NATIONAL UNIVERSITY OF UZBEKISTAN 

 

INSTITUTE OF MATHEMATICS 

 

BOTIROV GOLIBJON ISROILOVICH 

GIBBS MEASURES FOR LATTICE SYSTEMS  

WITH INFINITE SET OF SPIN VALUES 

01.01.01-Mathematical analysis