Ўзбекистон республикаси

2.5. Қатор яқинлашишининг (Маклорен-Кошининг) интеграл аломати.
Т е о р е м а(сонли қатор яқинлашишининг интеграл аломати). Агар (5) қаторнинг ҳадлари мусбат ва ўсмайдиган бўлса, яъни тенгсизлик ўринли бўлса ва f(x) функция учун ,, _,… ,,… тенгликлар ўринли бўлса, у ҳолда:

1) агар хосмас интеграл яқинлашса, қатор яқинлашувчи;

2) агар хосмас интеграл узоқлашувчи бўлса, қатор узоқлашувчи булади.

И с б о т и. Юкоридан эгри чизиқ билан чегараланган, асослари ва гача бўлган, бунда – ихтиёрий бутун мусбат сон, эгри чизикли трапецияни қараймиз. Бу трапецияга асослари [1,2], [2,3], …,[n-1,n ] кесмалардан иборат ички ва ташки зинапоясимон туртбурчаклар чизамиз, бунда функциянинг

,, _,… ,

қийматлари ички чизилган тўртбурчакларга,

,, _,… ,

қийматлари эса, ташқи чизилган тўртбурчакларга баландлик бўлиб хизмат қилади.

Қуйидаги белгилашларни киритамиз:

- қаторнинг -хусусий йиғиндиси, - эгри чизикли трапециянинг юзи, - мос равишда ички ва ташки чизилган зинапоясимон шаклларнинг юзлари.

, = экани равшан. Шаклдан

(18)

эканлиги келиб чиқади, бунда

Шундай килиб, (18) тенгсизликни бундай ёзиш мумкин:

ёки

Бундан иккита тенгсизликка эга буламиз:

(19)

(20)

функция мусбат, шу сабабли нинг ортиши билан интеграл хам катталашиб боради. Икки ҳол бўлиши мумкин:

1) хосмас интеграл яқинлашувчи, яъни

=

интеграл чекли сонга тенг булсин. У ҳолда ва (19) тенгсизликдан ҳар қандай да эканлиги келиб чикади. Шундай килиб, бу ҳолда хусусий йиғиндилар кетма-кетлиги чегараланган ва демак, (5) қатор яқинлашади.

2) хосмас интеграл узоқлашувчи булсин, яъни

=

булсин. (19) тенгсизликдан хусусий йиғиндилар кетма–кетлиги чегараланганлиги келиб чиқади ва демак, (5) қатор узоқлашади.

10-м и с о л. Умумлашган гармоник қатор деб аталувчи

1+

қаторнинг узоқлашувчи ёки яқинлашувчи эканини топинг.

Е ч и ш. функциянинг дан иборатлиги равшан, бунда -берилган сон. Ушбу

хосмас интегрални хисоблаймиз.

Агар бўлса, у ҳолда =0 ва - яқинлашувчи.

Агар бўлса, у ҳолда ва узоқлашувчи.

Агар бўлса, у ҳолда - узоқлашувчи.

Шу сабабли умумлашган гармоник қатор да яқинлашувчи,

да узоқлашувчи.