§ Affin va Evklid fazolarida k -tekisliklar geometriyasi

§ 6. Affin va Evklid fazolarida k -tekisliklar geometriyasi

k -tekislikning ta'rifi
U n o'lchovli afin fazoda ixtiyoriy nuqta o'rnatilgan bo'lsin A , va mos chiziqli fazoda L _n ixtiyoriy k o'lchovli pastki fazo L _k o'rnatiladi .
Ta'rif . AM bo'lgan affin fazoning barcha M nuqtalari to'plami L _{k pastki} fazo yo'nalishi bo'yicha A nuqtadan o'tuvchi k - o'lchovli tekislik deyiladi .



Guruch. 11, bu erda k = 2

Ular, shuningdek, L _k bu tekislikning yo'naltiruvchi pastki fazosidir. Ko'rinib turibdiki, har bir tekislik o'ziga xos tarzda o'zining yo'naltiruvchi makonini belgilaydi.

M nuqta tekislikning joriy nuqtasi deb ataladi. Rasmda joriy M nuqtasining M ₁ , M ₂ , M ₃ uchta pozitsiyasi ko'rsatilgan.
k - tekisliklarning maxsus holatlari
Agar k = 0 bo'lsa, tekislik bitta A nuqtadan iborat. Shuning uchun affin fazoning har bir nuqtasini nol o'lchovli tekislik deb hisoblash mumkin.
Bir o'lchovli tekislik to'g'ri chiziq deb ataladi.
n – 1 o‘lchamdagi tekislik gipertekislik deyiladi.
k = n uchun tekislik butun fazoga to'g'ri keladi U _n .
Tekislik ta'rifida A nuqtasi ta'kidlangan . Haqiqatda tekislikning barcha nuqtalari teng ekanligini isbotlaylik .
P _k bilan belgilaymiz va ixtiyoriy nuqtani aniqlaymiz IN . M nuqtaning P _k tekisligiga tegishli ekanligini , agar va faqat (ya'ni, har qanday M nuqta A rolini o'ynashi mumkin) isbotlash kerak .
Mayli . Samolyotning ta'rifi bo'yicha . Demak, pastki fazoning ta'rifiga ko'ra , shuning uchun . Aksincha, agar , keyin shuning uchun, .



Guruch. 12


Teorema . Affin fazodagi har bir k o'lchamli tekislikning o'zi k o'lchovli afin fazodir.
Isbot. L chiziqli fazoga mos keladigan affin fazo U berilgan bo'lsin , P _{k -} A nuqtadan L _k pastki fazo yo'nalishi bo'yicha o'tuvchi tekislik bo'lsin . P _k tekislikda ikkita ixtiyoriy M , N nuqtani olaylik . Affin fazoning ta'rifiga ko'ra, ular vektorga mos keladi . Tekislikning ta'rifiga ko'ra, AM va A N vektorlari L _k pastki fazoga tegishlidir .
Shuning uchun, . Shunday qilib, P _k tekislikning har bir tartiblangan juft M, N nuqtalari uchun k - o'lchovli L _k fazodan MN vektorni tayinlaymiz . Bunda k - o'lchovli tekislikning ta'rifidan kelib chiqadigan aksiomalar va butun U affin fazo uchun P _k uchun kuzatiladi . Teorema isbotlangan.
Eslatma . Agar tekislik affin koordinatalar sistemasining kelib chiqishidan L _k ostfazo yo nalishi bo yicha o tsa, u holda uning nuqtalarining radius vektorlari to plami pastki fazoni hosil qiladi, bu ta rifi bo yicha L _k ostfazoga togri keladi .
U affin fazoda A ₀ , A ₁ ,…, A _k nuqtalar berilsin ₍ k + 1 raqamida ). Bu nuqtalar, agar ular hech biriga tegishli bo'lmasa, umumiy holatda bo'ladi ( k –1)-o‘lchovli tekislik .
A ₀ , A ₁ ,…, A _k nuqtalarining umumiy holatda ekanligini tekshiramiz, agar A ₀ A ₁ ,…, A ₀ A _k vektorlari chiziqli mustaqil boʻlsa va u boʻlmasa (13-rasm) qaysi nuqta 0 ni A sifatida qabul qilishi (ya'ni undan boshqa nuqtalarga o'tadigan vektorlarning boshlanishi).



Guruch. 13

Ushbu bandda aytilganlardan va tekislikning ta'rifidan kelib chiqadiki, umumiy holatda bo'lgan A ₀ , A ₁ ,..., A _k nuqtalar tizimi orqali k o'lchovli tekislik o'tadi. va bundan tashqari, faqat bitta.

Faraz qilaylik, U _n fazoda kelib chiqishi bilan qandaydir affin koordinatalar sistemasi o'rnatilgan O va asos e ₁ , e ₂ , ..., e _n . Nuqtadan o'tuvchi P _k tekislikni ko'rib chiqaylik Va L _k pastki fazo yo'nalishi bo'yicha .
Gap shundaki, biz taxmin qilamiz A p ₁ , p ₂ , ..., p _n koordinatalariga ega va L _k q ₁ , q ₂ , ..., q _k vektorlarning mustaqil tizimi sifatida ko‘rsatilgan . U holda tekislikning joriy nuqtasining OM radius vektorini quyidagicha yozish mumkin


(6.1)