1-amaliy mashg’ulot: To‘plamlar va ular ustida amallar. Ratsional sonlar to‘plamining sanooqliligi va haqiqiy sonlar to‘plamining sanoqsizligi. Ta’rif

1-AMALIY MASHG’ULOT: To‘plamlar va ular ustida amallar. Ratsional sonlar to‘plamining sanooqliligi va haqiqiy sonlar to‘plamining sanoqsizligi.


Ta’rif. elementlar va to‘plamlarning har birida mavjud bo‘lsa, ular bu to‘plamlarning umumiy elementlari deyiladi. Masalan: , to‘plamlar uchun – umumiy elementlar.
1) To‘plamlar kesishmasi. va to‘plamlarning hamma umumiy elementlaridangina tuzilgan to‘plam va to‘plamlarning kesishmasi (ko‘paytmasi) deyiladi va quyidagicha belgilanadi:
yoki bu yerda belgi to‘plamlarning kesishmasini bildiradi.
Bitta ham umumiy elementga ega bo‘lmagan to‘plamlarning kesishmasi bo‘sh to‘plamga teng.
Masalan,
_1. va to‘plamlar uchun: ga teng.
_2. , va to‘plamlarning kesishmasi ushbuga teng:
_3. va to‘plamlarning kesishmasi ushbuga teng:
To‘plamlarning kesishmasi geometrik nuqtai nazardan figuralarning kesishmasiga mos keladi.

2-chizma 3-chizma

4-chizma

2-chizmada shtrixlangan qism va to‘plamlar kesishmasini, 3-chizmada kesma va kesmalar kesishmasini ifodalaydi.

4-chizmada va kesmalar kesishmaydi, demak kesishma bo‘sh to‘plam.
To‘plamlar kesishmasi uchun quyidagilar o`rinli:

Agar bo‘lsa, u holda
Yuqoridagi xulosalar to‘plamlar soni ikkitadan ortiq bo‘lgan hol uchun ham to‘g‘ri.
2) To‘plam birlashmasi (yig’indisi) Berilgan va to‘plamlarning birlashmasi (yig‘indisi) deb shu va to‘plamlarning har biridagi barcha elementlardan tuzilgan to‘plamga aytamiz. Birlashma yoki ko‘rinishda belgilanadi.
2.To‘plamlar ustida amallar
To‘plamlar birlashmasida har bir element bir martagina olinishi lozim bo‘lgani uchun, to‘plamlardan har ikkalasining umumiy elementlari yig‘indida bir martagina olinadi.
Misollar:
_1. , to‘plamlarning birlashmasi: ga teng
_2. va to‘plamlar uchun ga teng.
To‘plamlarning birlashmasi geometrik nuqtai nazardan figuralarning barcha nuqtalaridan tashkil topgan to‘plamni bildiradi.



5-chizma 6-chizma
5,6-chizmalarda shtrixlangan yuza va to‘plamlarning birlashmasini bildiradi. To‘plamlar birlashmasi uchun quyidagilar o‘rinli:

Agar bo‘lsa, u holda bo‘ladi.
To‘plamlar soni ikkitadan ortiq bo‘lganda ham yig‘indi uchun chiqarilgan xulosalar to‘g‘ri bo‘ladi.
3) To‘plamlar ayirmasi. va to‘plamlarning ayirmasi deb shunday to‘plamga aytiladiki, u ning da mavjud bo‘lmagan hamma elementlaridangina tuziladi va quyidagicha belgilanadi:
yoki
Misollar:
1. va uchun
2. va uchun
3. va uchun



7-chizma
To‘plamlarning ayirmasi geometrik nuqtai nazardan yuqoridagi 7-chizmada ko‘rsatilgan shtrixlangan yuzani bildiradi.
To‘plamlar ayirmasi uchun quyidagilar o‘rinli:

4) To‘plamga to‘ldiruvchi: to‘plam va uning qismi berilgan bo‘lsin. dagi ga kirmay qolgan hamma elementlardangina tuzilgan qism, ning to‘ldiruvchisi deb ataladi va ko‘rinishda belgilanadi. Bunda qism to‘plam ni gacha to‘ldiradi, ya’ni va ning birlashmasi xuddi ga teng bo‘ladi.
Masalan, va bo‘lsa, bo‘ladi.
Agar to‘plam biror boshqa to‘plamning qismi deb qaralmasa, u holda to‘plamning to‘ldiruvchisi bo‘sh to‘plam bo‘lib, ning to‘ldiruvchisi esa bo‘ladi, ya’ni: va .
Agar bo‘lsa, u holda ayirma, to‘plamni to‘plamga to‘ldiruvchisi deyiladi.
Bu 8.1-chizmada quyidagicha ifodalanadi.

8.1-chizma
Ushbu tengliklarga egamiz:



1-Eslatma. va to‘plamlarning aqalli bittasida ikkinchisiga kirmaydigan elementlar mavjud bo‘lsa, va ni tengmas to‘plamlar deymiz, uni quyidagicha belgilaymiz:

5) To‘plamlarning dekart (to‘g‘ri) ko‘paytmasi. va to‘plamlarning to‘g‘ri ko‘paytmasi deb shunday to‘plamga aytiladiki, u to‘plam elementlari tartiblangan juftliklardan iborat bo‘lib, bu juftni birinchisi to‘plamdan, ikkinchisi esa to‘plamdan olinadi. To‘g‘ri ko‘paytma ko‘rinishda belgilanadi.
Misol: va to‘plamlar berilgan bo‘lsin. U holda va to‘plamlarning to‘g‘ri ko‘paytmasi quyidagicha bo‘ladi:

Agar biz to‘g‘ri ko‘paytma elementi dagi ni biror nuqtani abssissasi, ni esa ordinatasi desak, u holda bu to‘g‘ri ko‘paytma tekislikdagi nuqtalar to‘plamini ifodalaydi.
Boshqacha aytganda haqiqiy sonlar to‘plami ni ga to‘g‘ri ko‘paytmasi ni tasvirlaydi.
6) To‘plamlar ustida amallar xossalari.
3. To‘plamning xossalari.
To‘plamlar ustidagi amallar quyidagi xossalarga ega:
To‘plamlar kesishmasi uchun

1. 
   (kommutativlik xossasi)
   
2. 
   (assotsiativlik xossasi)
   

To‘plamlar birlashmasi uchun:

1. 
   (kommutativlik xossasi)
   
2. 
   (assotsiativlik xossasi)
   

Ixtiyoriy to‘plamlar uchun quyidagi munosabatlar o‘rinli:
_1. (kesishmaning birlashmaga nisbatan distributivligi)
_2. (birlashmaning kesishmaga nisbatan distributivligi)
_3.
4.
Bu xossalarni (munosabatlarni) to‘g‘riligi Eyler-Venn diagrammalari orqali ko‘zga tashlanadi.
Komutativlik va kesishmaning birlashmaga nisbatan distributivlik xossalarini to`g`riligini ko`rsatamiz
1 ) (komutativlik xossasi)

a) b)
8.2 – chizma

8.2- a) b) chizmalardagi shtrixlangan sohalar bir xil bo`lgani uchun lar teng.
2) (kesishmaning birlashmaga nisbatan distributivlik xossasi)

8.3 – chizma 8.4 – chizma

8.3-chizmada tenglikning chap qismi birlashma vertical va garizantal shtrixlangan.

8.4-chizmada va kesishma gorizantal shtrizlangan. esa vertikal shtrixlangan. 8.3 va 8.4 chizmalardagi ikki marta shtrixlangan soxalar bir xil bo`lganligidan tenglikning to`g`riligi ko`rinadi.
Qolgan xossalarni tengligini ko`rsatish talabalarga mustaqil ish sifatida beriladi.