1-amaliy mashg’ulot: Vektor fazolar. Chiziqli erkli, chiziqli bog’liq vektorlar sistemasi. Chiziqli qobiq, bazis va o’lchov

1-amaliy mashg’ulot: Vektor fazolar. Chiziqli erkli, chiziqli bog’liq vektorlar sistemasi. Chiziqli qobiq, bazis va o’lchov.

Aytaylik, F= -ixtiyoriy maydon, V – ixtiyoriy tabiatli elementlarning bo‘sh bo‘lmagan to‘plami bo‘lsin. F maydon asosiy to‘plami F elementlarini sonlar (vektor) ko‘rinishda belgilab, ularni vektorlar deymiz.

B to‘plamda qo‘shish (+) binar algebraik amal va V to‘plamning ixtiyoriy elementini songa (skalyarga) ko‘paytirish amalni aniqlangan bo‘lsin.

TA’RIF. Agar V to‘plamda aniqlangan qo‘shish (+) va songa ko‘paytirish amallari quyidagi shartlarni (vektor fazo aksiomallarini) qanoatlantirsa, u holda V ni F maydon ustidagi vektor (yoki chiziqli) fazo deyiladi:
1) uchun bo‘lsa;

2) uchun ;

3) uchun ;

4) uchun bo‘lsa;

5) uchun bo‘lsa;

6) uchun bo‘lsa;

7) uchun bo‘lsa;

8) uchun bo‘lsa.

gruppani vektor fazoning additiv gruppasi deyiladi.

1-misol. +; ; 0; 1> -haqiqiy sonlarning maydoni bo‘lsin. Agar nN qandaydir natural son bo‘lsa, Rⁿ da qo‘shish (+) va songa ko‘paytirish amallarini quyidagicha kiritamiz:

bo‘lsin, u holda

Rⁿ – haqiqiy sonlar maydoni ustida vektor fazo bo‘ladi. Uni haqiqiy sonlar maydoni ustidagi n o‘lchovi arifmetik vektor fazo deyiladi.

2-misol. R[x] – haqiqiy sonlar maydoni ustidagi

ko‘rinishdagihamma ko‘phadlarning to‘plami bo‘lsin, n manfiy bo‘lmagan ixtiyoriy butun son. R[x] da qo‘shish va songa ko‘paytirish amallarini quyidagicha kiritamiz:

bo‘lsin, u holda

Bu holda R[x] ham haqiqiy sonlar maydoni ustidagi vektor fazo bo‘ladi.

Agar m – ixtiyoriy tayinlangan natural son bo‘lsa, vektor fazoning

(1)

vektorlarini birgalikda qarab, uni m ta vektorlarning sistemasi deyiladi.

TA’RIF. Agar F maydon ustidagi V vektor fazoning (1) vektorlari sistemasi uchun bo‘lganda

(2)

tenglik faqat bo‘lgandagina bajariladigan bo‘lsa, u holda (1) vektorlar sistemasini chiziqli bog‘lanmagan (chiziqli erkli) deyiladi, agarda (2) tengliklardanaqallibittasi noldan farqli bo‘lganda bajariladigan bo‘lsa, u holda (1) vektorlar sistemasini chiziqli bog‘langan (chiziqli erksiz) deyiladi.

kichik

(3)

ifodani (1) vektorlar sistemasining chiziqli kombinatsiyasi deyiladi.

to‘plamni (1) vektorlar sistemasining chiziqli qobig‘i deyiladi.

TA’RIF. Aytaylik (1) va (4) lar V vektor fazo vektorlarning chekli sistemalari bo‘lsin. Agar (1) va (4) sistemalardan birining ixtiyoriy vektorini ikkinchi sistema vektorlarning chiziqli kombinatsiyasi shaklida ifodalash mumkin bo‘lsa, u holda (1) va (4) sistemalarni ekvivalent (teng kuchli) deyiladi va (1)(4) ko‘rinishda yoziladi.

Vektorlar chekli sittemani ustida elementar almashtirish deganda biz quyidagi almashtirishlarni tushunamiz:

1. 
   vektorlar sistemasining birorta vektorini noldan farqli songa ko‘paytirish;
   
2. 
   vektorlar sistemasining birorta vektorininodan farqli songa ko‘paytirib bu sistemaning boshqa vektoriga qo‘shish;
   
3. 
   vektorlar sistemasining ixtiyoriy ikkita vektorini o‘rinlarini almashtirish;
   
4. 
   vektorlar sistemasidan nol’ vektorni chiqarish yoki sistemaga nol’ vektorni kiritish.