1-маъруза. Математик анализ фанининг предмети. Тўпламлар ва акслантиришлар

1-маъруза. Математик анализ фанининг предмети. Тўпламлар ва 

акслантиришлар. 

Режа: 

1.  Математик анализ фанинг предмети. Тарихий маълумотлар. Фаннинг 

ривожланиш тенденциялари. Ўзбекистонда математик анализ фанинг 

ривожи.  

2.  Тўплам тушунчаси. 

3.  Тўпламлар устида амаллар. 

4.   Математик белгилар. 

5.  Акслантиришлар тушунчаси. 

6.  Акслантиришнинг турлари. 

7.  Эквивалент тўпламлар. Саноқли тўпламлар. 

 

2

0

.  Тўплам  тушунчаси.  Тўплам  математиканинг  бошланғич,  айни 

пайтда  муҳим  тушунчаларидан  бири.  Уни  ихтиёрий  табиатли  нарсаларнинг 

(предметларнинг)  маълум  белгилар  бўйича  бирлашмаси  (мажмуаси) 

сифатида тушунилади. Масалан, жавондаги китоблар тўплами, бир нуқтадан 

ўтувчи  тўғри  чизиқлар  тўплами, 

0

6

5

2







x

x

  тенгламанинг  илдизлари 

тўплами дейилиши мумкин. 

Тўпламни ташкил этган нарсалар унинг элементлари дейилади. 

Математикада  тўпламлар  бош  харфлар  билан,  уларнинг  элементлари 

эса кичик харфлар билан белгиланади. Масалан, 

C

B

A

,

,

 - тўпламлар, 

c

b

a

,

,

 -

 тўпламнинг элементлари. 

Баъзан тўпламлар уларнинг элементларини кўрсатиш билан ёзилади: 

 

 

 

Агар  a  бирор  A тўпламнинг элементи бўлса, 

A

a



  каби  ёзилади ва « 

a

 элемент 

A  тўпламга тегишли »  деб ўқилади. Агар  a  шу тўпламга тегишли 

бўлмаса, уни 

A

a



 каби ёзилади ва «  a  элемент 

A  тўпламга тегишли эмас » 

деб ўқилади. Масалан, юқоридаги  A  тўпламда 

A

A





15

,

10

.  

Агар  A  чекли  сондаги  элементлардан  ташкил  топган  бўлса,  у  чекли 

тўплам,  акс  ҳолда  чексиз  тўплам  дейилади.  Масалан, 

12}

 

10,

 

8,

 

6,

 

4,

 

{2,



A

 

чекли тўплам, бир нуқтадан ўтувчи барча тўғри чизиқлар тўплами эса чексиз 

тўплам бўлади. 

1-таъриф. 

A   ва  B   тўпламлари  берилган  бўлиб,  A   тўпламнинг  барча 

элементлари  B  тўпламга тегишли бўлса,  A  тўплам  B  нинг қисми (қисмий 

тўплам) дейилади ва  

B

A



 (ёки 

A

B



)  

каби ёзилади. 

A   тўпламнинг  элементлари  орасида  бирор  хусусиятга  (бу  хусусиятни 

P   билан  белгилаймиз)  эга  бўладиганлари  бўлиши  мумкин.  Бундай 

хусусиятли элементлардан тузилган тўплам қуйидагича 





P

A

x



 













.

 

...

 

,

2

 

,

1

 

,

0

 

,

1

-

 

,

2

-

 

,

...

 

 

 

Z

,

 

....

 

,

n

 

,

...

 

,

3

 

,

2

 

,

1

 

 

N

,

 

12

 

,

10

 

,

8

 

,

6

 

,

4

 

,

2

 

 

A 







белгиланади. Равшанки, 





A

P

A

x





 

бўлади. 

Агар  A  тўплам  элементлари  орасида  P   хусусиятли  элементлар 

бўлмаса, у ҳолда 





P

A

x



 

битта ҳам элементга эга бўлмаган тўплам бўлиб, уни бўш тўплам дейилади. 

Бўш  тўплам 



  каби  белгиланади.  Масалан, 

0

1

2







x

x

  тенгламанинг 

ҳақиқий илдизларидан иборат  A бўш тўплам бўлади: 





0

1

2













x

x

A

x

. 

Ҳар қандай A тўплам учун  

A

A

A







,

 

деб қаралади. 

Одатда,  A  тўпламнинг  барча  қисмий  тўпламларидан  иборат  тўплам 

 

A

F

 каби белгиланади. Масалан, 





c

b

a

A

,

,



 тўплам учун 

              











,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

c

b

a

c

b

c

a

b

a

c

b

a

A

F

 

бўлади. 

2-таъриф.  

A  ва  B  тўпламлари берилган бўлиб,  

A

B

B

A





,

 

бўлса,  A ва  B  бир бирига тенг тўпламлар дейилади ва  

B

A



 

каби ёзилади. 

Демак, 

B

A



  тенглик 

A   ва  B   тўпламларнинг  бир  хил  элементлардан 

ташкил топганлигини билдиради. 

3

0

.  Тўпламлар  устида  амаллар.  Икки 

A   ва  B   тўпламлар  берилган 

бўлсин. 

3-таъриф. 

A   ва  B   тўпламларнинг  барча  элементларидан  ташкил 

топган  E  тўплам  A  ва  B  тўпламлар йиғиндиси (бирлашмаси) дейилади ва 

B

A 

 каби белгиланади: 

B

A

E





. 

Демак, бу ҳолда 

B

A

a





 дан 

A

a



, ёки 

B

a



, ёки бир вақтда 

A

a



, 

B

a



 бўлиши келиб чиқади. 

4-таъриф. 

A   ва  B   тўпламларнинг  барча  умумий  элементларидан 

ташкил  топган  F   тўплам  A  ва  B   тўпламлар  кўпайтмаси  (кесишмаси) 

дейилади ва 

B

A 

 каби белгиланади: 

B

A

F





. 

Демак, бу  ҳолда 

B

A

a





  дан  бир  вақтда 

A

a



, 

B

a



  бўлиши  келиб 

чиқади. 

5-таъриф. 

A   тўпламнинг  B   тўпламга  тегишли  бўлмаган  барча 

элементларидан  ташкил  топган  G  тўплам  A   тўпламдан  B   тўпламнинг 

айирмаси дейилади ва 

B

A \

 каби белгиланади: 

B

A

G

\



. 

Демак, 

B

A

a

\



 дан 

A

a



, 

B

a



 бўлиши келиб чиқади. 

6-таъриф.   

A   тўпламнинг 

B   га  тегишли  бўлмаган  барча 

элементларидан  ва  B  тўпламнинг  A   га  тегишли  бўлмаган  барча 

элементларидан  тузилган  тўплам  A   ва  B   тўпламлар-нинг  симметрик 

айирмаси дейилади ва 

B

A



 каби белгила-нади: 



 



A

B

B

A

B

A

\

\







. 

Демак, 

B

A

a





  бўлишидан 

A

a



, 

B

a



  ёки 

B

a



, 

A

a



  бўлиши 

келиб чиқади. 

7-таъриф.  Айтайлик, 

A

a



, 

B

a



  бўлсин.  Барча  тартибланган 

 

b

a,

 

кўринишидаги  жуфтликлардан  тузилган  тўплам  A   ва  B   тўпламларнинг 

декарт кўпайтмаси дейилади ва 

B

A



 каби белгиланади. Демак, 





B

b

A

a

b

a

B

A









,

)

,

(

. 

Хусусан, 

B

A



 бўлганда 

2

A

A

A





 деб қаралади. 

8-таъриф.  Айтайлик,  S   ва 

A   тўпламлар  берилган  бўлиб, 

S

A



 

бўлсин. Ушбу  

A

S \

 

тўплам  A  тўпламни  S   га  тўлдирувчи  тўплам  дейилади  ва  CA   ёки 

A

C

S

 

каби белгиланади: 

A

S

CA

\



. 

Тўпламлар  устида  бажариладиган  амалларнинг  баъзи  хоссаларини 

келтирамиз. 

 

A , B  ва  D  тўпламлари берилган бўлсин. 

1) 

D

B

B

A





,

 бўлса, 

D

A



 бўлади; 

2)

A

A

A

A

A

A









,

 бўлади;  

3)

B

A



 бўлса, 

A

B

A

B

B

A









,

 бўлади; 

4)

A

B

B

A

A

B

B

A













,

 бўлади; 

5)

)

(

)

(

,

)

(

)

(

D

B

A

D

B

A

D

B

A

D

B

A





















 бўлади; 

6)

S

A



 бўлса, 





CA

A 

; 

7) 

CB

CA

B

A

C







)

(

, бунда 

S

B

S

A





,

 ; 

8) 

CB

CA

B

A

C







)

(

, бунда 

S

B

S

A





,

 . 

Бу  хоссаларнинг  исботи  юқорида  келтирилган  таърифлардан  келиб 

чиқади. 

1-мисол.  Ушбу    

)

(

\

)

(

)

\

(

)

\

(

B

A

B

A

A

B

B

A









                    (1)   

тенглик исботлансин. 

◄ 

)

\

(

)

\

(

A

B

B

A

a





 бўлсин. У ҳолда 

B

a

A

a

B

A

a







,

:

)

\

(

 

ёки  

A

a

B

a

A

B

a







,

:

)

\

(

 

бўлади. Бундан эса 

)

(

),

(

B

A

a

B

A

a









   

бўлиб,  

)

(

\

)

(

B

A

B

A

a







 

бўлиши келиб чиқади. Демак, 

)

(

\

)

(

)

\

(

)

\

(

B

A

B

A

A

B

B

A









.                 (2) 

Айтайлик,  



 



B

A

B

A

a





\



 бўлсин. 

У ҳолда  





B

a

A

a

B

A

a







 

ёки

  

:



, 





B

a

A

a

B

a

A

a

B

a

A

a

B

A

a















,

ёки

,

ёки

,

:



 

бўлади. 

Бундан эса 

A

B

a

B

A

a

\

ёки

\





 

бўлиб, 

)

\

(

)

\

(

A

B

B

A

a





 

бўлиши келиб чиқади. Демак, 

)

\

(

)

\

(

)

(

\

)

(

A

B

B

A

B

A

B

A









.            

     (3) 

(2) ва (3) муносабатлардан (1) тенгликнинг ўринли бўлиши топилади. ► 

Тўпламлар 

устида 

бажариладиган 

амалларни 

баён 

этишда 

тўпламларнинг  қандай  табиатли  элементлардан  тузилганлигига  эътибор 

қилинмади. 

Аслида,  келтирилган  амаллар    бирор  универсал  тўплам  деб  аталувчи 

тўпламнинг қисмий тўпламлари устида бажари-лади деб қаралади. Масалан, 

натурал сонлар тўпламлари устида амаллар бажариладиган бўлса, универсал 

тўплам  сифатида  барча  натурал  сонлардан  иборат  N   тўпламни  олиш 

мумкин. 

4

0

. Математик белгилар. Математикада тез-тез учрайди-ган сўз ва сўз 

бирикмалари  ўрнида  махсус  белгилар  ишлати-лади.  Улардан  мухимларини 

келтирамиз: 

1)  «агар  ...  бўлса,  у  ҳолда  ...  бўлади»  ибораси  «



»  белги  орқали 

ёзилади; 

2) икки иборанинг эквивалентлиги ушбу «



» белги орқали ёзилади; 

3)  «ҳар  қандай»,  «ихтиёрий»,  «барчаси  учун»  сўзлари  ўрнига  «



» 

белги ишлатилади; 

4) «мавжудки», «топиладики» сўзлари ўрнига «



» мавжудлик белгиси 

ишлатилади. 

5

0

. Акслантириш тушунчаси.  E  ва  F  тўпламлар берилган бўлсин. 

9-таъриф.  Агар 

E   тўпламдан олинган  ҳар  бир  x   элемент-га  бирор  f  

қоида  ёки  қонунга  кўра  F   тўпламнинг  битта  y   элементи 





F

y



  мос 

қўйилган  бўлса,  E   тўпламни  F   тўпламга  акслантириш  берилган 

дейилади ва  

F

f:E



 ёки 

y

x

f



,     





F

y

E

x





,

 

каби  белгиланади.  Бунда  E   тўплам  f   акслантиришнинг  аниқланиш 

тўплами дейилади. 

2-мисол.  Ушбу   





...

3,

2,

1,



N

  ва 

















...

,

3

1

,

2

1

1,

N

  тўпламлар 

берилган бўлсин. 

1)  ҳар  бир  натурал 





N

n

n



  сонга   

n

1

 

















N

n

1

сонни    мос  қўйсак, 

унда 

n

n

,

N

N

f

f

1

:







 

акслантириш ҳосил бўлади. Уни 

 

n

n

f

1



 каби ҳам ёзилади. 

2)  ҳар  бир  натурал  сон 





N

n

n



  сонга 

2

1

n

   

















N

n

2

1

сонни    мос 

қўйсак, унда  

2

1

:

n

n

,

N

N











 

акслантиришга эга бўламиз:  

2

1

)

(

n

n





. 

3)  ҳар  бир  натурал 





N

n

n



  сонга 

)

1

(

1

N





  сонини    мос  қўйиш 

натижасида 

1

:

g

n

,

N

N

g







 

акслантириш ҳосил бўлади: 

1

)

(



n

g

. 

Айтайлик,  

F

E

f



:

 

акслантириш берилган бўлсин. 

E

x



 элементга мос қўйилган 

F

y



 элемент 

x  нинг акси (образи) дейилади ва 

 

x

f

y



  каби белгиланади. 

Энди   

F

y



  элементни  олайлик. 

E   тўпламнинг  шундай  x  

элементларини қараймизки, 

 

y

x

f



 бўлсин. Бундай 

E

x



 элементлар 

E

y



 

нинг асли (прообрази) дейилади ва 

)

(

1

y

f



 каби белгиланади: 





.

y

x

f

|

E

x

y

f









)

(

)

(

1

 

Агар 

E

A



 бўлса, ушбу  





A

x

|

x

f



)

(

 

тўплам  A тўпламнинг  F  даги акси дейилади ва 

 

A

f

 каби белгиланади: 

 

 





A

x

x

f

A

f





. 

Агар 

F

B



 бўлса, ушбу 

}

)

(

{

B

x

f

|

E

x





 

тўплам  B  тўпламнинг  E  даги асли дейилади ва 

 

B

f

1



 каби белгиланади: 

  



B

x

f

|

E

x

B

f









)

(

1

. 

3-мисол. Фараз қилайлик, 

...}

,

,

...

,

3

,

2

,

1

{

n

N



ва 

}

1

,

1

{





M

 тўпламлар 

берилган бўлиб, ушбу 

M

N

f



:

 

акслантириш қуйидаги 

n

n

f

)

1

(

)

(





 

кўринишда бўлсин.  

Равшанки, 

N



5

  нинг  акси 

 

1

5





f

; 

M



1

  нинг  асли  эса 

...}

,

6

,

4

,

2

{

)

1

(

1





f

  бўлади.  Шунингдек, 

N

A





}

4

,

3

{

  тўпламнинг  акси 

M

A

f







}

1

,

1

{

)

(

, 

M

B







}

1

{

 тўпламнинг асли эса  

 

...}

,

5

,

3

,

1

{

1





B

f

 

бўлади. 

Фараз  қилайлик,  A  ва  B   тўпламлари  F   тўпламнинг  қисмий 

тўпламлари бўлсин: 

F

B

F

A





,

. Унда 





 

 













1

1

1

f

f

B

A

f





                (4) 

бўлади. 

◄ Айтайлик,





B

A

f

x



1





 бўлсин. Унда 

 

B

A

x

f





 бўлиб, 

A

x

f



)

(

 

ва 

B

x

f



)

(

  бўлади.  Кейинги  муносабатлардан 

 

 

B

f

x

A

f

x

1

1

,









 

бўлиши келиб чиқади. Демак, 

 

 

B

f

A

f

x

1

1









. Бундан эса 

)

(

)

(

)

(

1

1

1

B

f

A

f

B

A

f













        

 

(5) 

бўлишини топамиз. 

Айтайлик, 

)

(

)

(

1

1

B

f

A

f

x









  бўлсин.  Унда 

)

(

1

A

f

x





  ва 

)

(

1

B

f

x





 

бўлиб, 

B

x

f

A

x

f





)

(

,

)

(

  бўлади.  Натижаси 

B

A

x

f





)

(

  бўлиб,  ундан 

)

(

1

B

A

f

x







 бўлишини топамиз. Бу эса 

)

(

)

(

)

(

1

1

1

B

A

f

B

f

A

f













 

 

 

        (6) 

бўлишини билдиради. 

(5)  ва  (6)  муносабатлардан  (4)  тенгликнинг  ўринли  бўлиши  келиб 

чиқади. ► 

Юқоридагидек, 

)

(

)

(

)

(

1

1

1

B

f

A

f

B

A

f













, 

)

(

)

(

)

(

B

f

A

f

B

A

f







 

тенгликларнинг ўринли бўлиши исботланади. 

6

0

. Акслантиришнинг турлари.  Айтайлик,  

F

E

f



:

            

 

 

(7) 

акслантириш берилган бўлиб, 

)

(E

f

 эса 

E  тўпламнинг акси бўлсин: 





.

|

)

(

)

(

E

x

x

f

E

f





 

10-таъриф. Агар (4) акслантиришда  

F

E

f



)

(

 

бўлса,  (7)  акслантириш  E     тўпламни  F   тўпламнинг  ичига  акслантириш 

дейилади. 

Масалан, 



















...

,

3

1

,

2

1

,

1

...},

,

3

,

2

,

1

{

N

N

 

тўпламлари учун ушбу 

n

n

N

N

f

f

3

1

,

:







 

акслантириш  N  тўпламни 

N



 тўпламнинг ичига акслантириш бўлади. 

11-таъриф.  Агар (4) акслантиришда 

F

E

f



)

(

 

бўлса,  (7)  акслантириш  Е  тўпламни  F   тўпламнинг  устига  акслантириш 

(сюръектив акслантириш) дейилади. 

Масалан,  

}

1

,

1

{

,

...}

,

3

,

2

,

1

{







M

N

 

тўпламлари учун 

n

f

n

)

1

(





 

акслантириш  N  тўпламни  M  тўпламнинг устига акслантириш бўлади. 

12-таъриф.  Агар  (7)  устига  акслантириш  бўлиб,  бу  акслантириш 

E  

тўпламнинг  турли  элементларини  F   тўплам-нинг  турли  элементларига 

акслантирса, (7) инъектив акслантириш дейилади. 

13-таъриф.  Агар  (7)  устига  акслантириш  бўлиб,  у  инъектив 

акслантирш  ҳам  бўлса,  (7)  ўзаро  бир  қийматли  акслантириш  (мослик) 

дейилади. 

Масалан,  



















...

,

3

1

,

2

1

,

1

...},

,

3

,

2

,

1

{

N

N

 

тўпламлар учун ушбу  

n

n

N

N

f

f

1

,

:







 

акслантириш ўзаро бир қийматли акслантириш бўлади. 

14-таъриф. 

F

E

f



:

  акслантириш  ўзаро  бир  қийматли  акслантириш 

бўлсин.  F  тўпламнинг ҳар бир  y , 

)

(

F

y



 элементига 

E  тўпламнинг битта  x  

элементини 

)

(

E

x



 мос қўядиган ва  

x

x

f

g

y

g





))

(

(

)

(

 

муносабат билан аниқланадиган 

E

F

g



:

 

акслантириш 

F

E

f



:

 га нисбатан тескари акслантириш дейилади ва 

1



f

 

каби белгиланади:  

E

F

f





:

1

. 

Демак, 

F

E

f



:

 га тескари акслантириш мавжуд бўлиши учун: 

а)  f  устига акслантириш, 

б)  F  тўпламдан олинган ҳар бир у элементнинг  E  тўпламдаги асли 

x

x

f

f

y

f









))

(

(

)

(

1

1

 

ягона бўлиши керак. 

7

0

.  Эквивалент  тўпламлар.  Саноқли  тўпламлар.  Кўп  ҳолда 

тўпламларни  уларнинг  ташкил  этган  элементлари  сони  бўйича  ўзаро 

солиштиришга  тўғри  келади.  Чекли  тўпламлар  солиштирилганда  бир 

тўпламнинг  элементлари  сони  иккинчисидан  кўп,  ёки  кам,  ёки  уларнинг 

элементларининг  сони  бир-бирига  тенг  деган  ҳулосага  келинади.  Бу  ҳолда 

элементлари сони кўп бўлган тўпламни «қуввати» кўпроқ дейиш мумкин.  

Чексиз тўпламларни солиштиришда вазият бошқачароқ бўлади. Чексиз 

тўпламлар эквивалентлик тушунчаси ёрдами-да солиштирилади. 

15-таъриф.  Агар 

F

E

f



:

  ўзаро  бир  қийматли  аксланти-риш 

(мослик)  бўлса,  E   ва  F   эквивалент  тўпламлар  дейилади  ва 

F

E ~

  каби 

белгиланади. 

Демак,  E   ва  F   тўпламларнинг  эквивалентлиги   

F

E ~

    уларнинг 

элементлари ўзаро бир қийматли мосликда эканлигини билдиради. 

Масалан,  

...}

,

8

,

6

,

4

,

2

{

},

...

,

4

,

3

,

2

,

1

{

1





N

N

 

тўпламлар учун  

n

n

f

2



 ,     

)

2

,

(

1

N

n

N

n





 

акслантириш ўзаро бир қийматли. Бинобарин,  

1

~ N

N

 

бўлади. (Бу ҳолда 

n

n

2



 каби ёзилади). 

Айтайлик 

D

B

A

,

,

 тўпламлар берилган бўлсин. Унда 

 

1)  

A

A ~

, 

 

2)  

A

B

B

A

~

~



, 

 

3)  

D

A

D

B

B

A

~

~

,

~



 

бўлади.  Бу  хоссаларнинг  исботи  юқорида  келтирилган  таърифдан  келиб 

чиқади. 

Икки  A  ва  B   тўпламлари  ўзаро  эквивалент  бўлса,  уларни  бир  хил 

қувватли тўпламлар деб қаралади. 

Демак, 

қувватни 

эквивалент 

тўпламларнинг 

миқдорий 

характеристикаси сифатида тушуниш мумкин. 

Чекли  тўпламларнинг  ўзаро  эквивалентлиги  уларнинг  ташкил  этган 

элементларининг сонини бир-бирига тенглигини билдиради. 

Умуман,  A ва  B  чекли тўпламларнинг ўзаро эквивалент бўлиши учун 

уларнинг элементлари сони бир хил бўлиши зарур ва етарли: 

   

B

n

A

n

B

A





~

, 

бунда 

 

G

G

n



 тўпламнинг элементлари сони. 

16-таъриф.    Натурал  сонлар  тўплами  N   га  эквивалент    бўлган  ҳар 

қандай тўплам саноқли тўплам дейилади. 

Масалан, ушбу 

...},

,

2

...,

,

8

,

6

,

4

,

2

{

1

n

N



 

,...},

,...,

64

,

27

,

8

,

1

{

3

2

n

N



 

,...}

1

,...,

3

1

,

2

1

,

1

{

3

n

N



 

тўпламлар саноқли тўпламлар бўлади, чунки 

1

~

,

2

N

N

n

n



;   

2

3

~

,

N

N

n

n



; 

3

~

,

1

N

N

n

n



.   

Натурал  сонлар  тўплами  N   га  эквивалент  бўлган  барча  тўпламлар 

саноқли тўпламлар синфини ташкил этади. Бу синф тўпламларининг қуввати 

бир хил бўлади. 

Равшанки,  

N

N

N

N

N

N







3

2

1

,

,

 

бўлади. Айни пайтда, юқорида кўрдикки,  

3

2

1

~

,

~

,

~

N

N

N

N

N

N

. 

Бундай  вазият  (тўпламнинг  қисми  ўзига  эквивалент  бўлиши)  фақат 

чексиз тўпламлардагина содир бўлади. 

Математик  анализ  курсида  тайин  E   ва  F   тўпламлар  учун 

F

E

f



:

 акслантиришлар  ва уларнинг хоссалари ўрганилади.  

Даставвал  юқоридаги  тўпламлар  сифатида  ҳақиқий  сонлар  тўпламини 

оламиз ва унинг хоссаларини ўрганамиз.