1-ma‘ruza. Mavzu: Haqiqiy sonlar. Koordinatalar usuli

1-ma‘ruza. Mavzu: Haqiqiy sonlar. Koordinatalar usuli.

Tayanch iboralar:

• Natural son, butun son, ratsional son, irratsional son, haqiqiy son, son o’qi, masshtab, sonning absolyut qiymati, Dekart sistemasi, nuqtaning koordinatalari, koordinata sistemasi, abssissa, ordinata, applikata, oktant, qutb koordinatalari, koordinatalarni almashtirish.

1.1. Haqiqiy sonlar.

• 1.1. Haqiqiy sonlar.

• Narsalarni, buyumlarni sanash zaruryati tufayli natural sonlar to’plami ={1,2,3...} paydo bo’ladi. Bu to’plamga natural sonlarga qarama-qarshi sonlarni hamda nolni qo’shish (birlashtirish) natijasida butun sonlar to’plami Z={...,-n,...,-3,-2,-1,0,1,2,...,n,...} yuzaga keldi. Keyinchalik ikkita butun sonlarning nisbati ko’rinishida tasvirlanadigan ratsional sonlar to’plami Q={p/q} (bunda p,qZ,) kiritildi. Har qanday р butun sonni ko’rinishda tasvirlash mumkin bo’lganligi uchun butun sonlar ham ratsional sonni tashkil etadi. Istalgan sonni ikkita butun sonlarning nisbati ko’rinishda tasvirlash mumkinmi, degan savolga yo’q degan javob olindi. Masalan, tomonlari bir birlikka teng kvadratning diagonali uzunligi , shuningdek aylana uzunligining uning diametriga nisbati () kabi sonlarni ikkita butun sonlarning nisbati ko’rinishida tasvirlab bo’lmasligi isbotlandi. Ratsional bo’lmagan sonlar irratsional sonlar deyiladi.

• Har qanday ratsional son chekli yoki cheksiz davriy o’nli kasr shaklida tasvirlanishini irratsional son esa cheksiz davriy bo’lmagan o’nli kasr shaklida tasvirlanishni eslatib o’tamiz. Masalan, 1/4=0,25 chekli o’nli kasr, 7/9=0,777...=0,(7) cheksiz davriy kasr, =3,14159..., е=2,7182818284... cheksiz davriy bo’lmagan o’nli kasrlardir.

• Ratsional va irratsional sonlar to’plamlarining birlashmasi haqiqiy sonlar to’plamini tashkil etadi va u R orqali belgilanadi.

1.2. Haqiqiy sonlarning geometrik tasviri. To’g’ri chiziq nuqtalarining koordinatalari.

• 1.2. Haqiqiy sonlarning geometrik tasviri. To’g’ri chiziq nuqtalarining koordinatalari.

• Sonlar o’qi yoki o’q deb sanoq boshi-koordinatalar boshi, musbat yo’nalish hamda uzunligi bir birlikka teng sanaluvchi kesma-o’lchov birligi tanlangan to’g’ri chiziqqa aytiladi.

• Yo’nalish chizmada strelka orqali belgilanadi. Agarda sonlar o’qi 1-chizmada ko’rsatilganidek tanlansa, musbat х haqiqiy songa sonlar o’qining sanoq boshi

• 1-chizma.

• 0 dan o’ngdagi undan х masofada bo’lgan nuqtasi, manfiy songa 0 sanoq boshidan chapdagi undan –х masofada bo’lgan nuqtasi mos keladi; 0 songa sonlar o’qining sanoq boshi mos keladi. х haqiqiy son sonlar o’qida uni tasvirlovchi M nuqtaning koordinatasi deb aytiladi va M(X) ko’rinishda yoziladi.

• 2-chizma.

2-chizmada –5, -2.5, 1.5,  haqiqiy sonlarni sonlar o’qida mos ravishda tasvirlovchi M1(-5), М2(-2.5), М3(1.5) va М4(), nuqtalar ko’rsatilgan.

• 2-chizmada –5, -2.5, 1.5,  haqiqiy sonlarni sonlar o’qida mos ravishda tasvirlovchi M1(-5), М2(-2.5), М3(1.5) va М4(), nuqtalar ko’rsatilgan.

• Shunday qilib, istalgan х haqiqiy songa sonlar o’qining aniq bitta М nuqtasi va aksincha sonlar o’qining istalgan М nuqtasiga bitta haqiqiy son shu nuqtaning koordinatasi х mos kelar ekan. Boshqacha aytganda haqiqiy sonlar to’plami bilan sonlar o’qining nuqtalari orasida o’zaro bir qiymatli moslik mavjud ekan.

• Haqiqiy sonlar to’plamining muhim xossalaridan biri uning tartiblanganligi, ya‘ni istalgan ikkita o’zaro teng bo’lmagan X1 va X2 haqiqiy sonlar uchun X1 > X2 va X1 < X2 munosabatlardan faqatgina biri bajariladi xolos. Agar sonlar o’qi 1-chizmada ko’rsatilganidek ya‘ni gorizontal joylashtirilgan bo’lib yo’nalish chapdan o’ngga tayinlangan bo’lsa, katta haqiqiy sonni tasvirlovchi nuqta kichik haqiqiy sonni tasvirlovchi nuqtadan o’ngda yotadi.

1.3. Haqiqiy sonning absolyut (mutloq) qiymati.

• 1.3. Haqiqiy sonning absolyut (mutloq) qiymati.

• 0 haqiqiy sonning absolyut qiymati (moduli) deb shu sonning o’ziga, x<0 sonning absolyut qiymati deb - x songa aytiladi. x haqiqiy sonning absolyut qiymati x kabi yoziladi.

• Shunday qilib:

• Masalan, 8=8, 5=5, -5=5.

• Noldan farqli istalgan haqiqiy sonning moduli musbat bo’lar ekan.

• Istalgan 0 uchun x va -x tengsizliklar teng kuchliligini eslatib o’tamiz.

• Haqiqiy sonning absolyut qiymati quyidagi xossalarga ega:

• 1. x1 + x2x1+x2.

• 2. x1 - x2x1-x2.

• 3. x1  x2  xn=x1x2xn.

• 4.

1.4. To’g’ri chiziqning ikki nuqtasi orasidagi masofa.

• 1.4. To’g’ri chiziqning ikki nuqtasi orasidagi masofa.

• Sonlar o’qining М1(x1) va М2(х2) nuqtalari orasidagi masofa d ni topish uchun formula chiqaramiz.

• Faraz qilaylik bo’lsin ( 3a -chizma)

• 3a -chizma.

• U holda ОМ1=х1, ОМ2=х2 bo’lib, d= ОМ2 –ОМ1=х2-х1 bo’ladi. Shuningdek х2х1 bo’lganda (3б -chizma) d=х1-х2 bo’ladi.

• Shunday qilib har ikkala hol uchun ham

• d=х2-х1 (1.1)

• formulaga ega bo’lamiz.

Dekart koordinatalar sistеmasi :

• y

• x<0 x>0

• y>0 y>0

• o x

• x<0 x>0

• y<0 y<0

Nuqtaning koordinatasi :

1.6. Tekislikning ikki nuqtasi orasidagi masofa.

• 1.6. Tekislikning ikki nuqtasi orasidagi masofa.

• 0ху tekisligining berilgan М1(х1;у1) va М2(х2; у2) nuqtalari orasidagi мasofani topish uchun formula chiqaramiz. М1М2 kesma koordinata o’qlarining hech biriga parallel bo’lmasin(7-chizma).

• 7-chizma.

• М1М2N uchburchak to’g’riburchakli bo’lganligi sababli Pifagor teoremasiga binoan

1.7. Kesmani berilgan nisbatda bo’lish.

• 1.7. Kesmani berilgan nisbatda bo’lish.

• М1М2 kesmani berilgan nisbatda bo’lish deganda shu kesmada munosabatni qanoatlantiruvchi М(x;y) nuqtani topish tushuniladi.

• Izlanayotgan М nuqtani х va у koordinatalarini topish uchun

• formula foydalaniladi.

1.8. Fazodagi nuqtaning koordinatalari. Koordinatalar usuli.

• 1.8. Fazodagi nuqtaning koordinatalari. Koordinatalar usuli.

• Fazodagi nuqtaning holati uchta son yordamida aniqlanishini ko’rsatamiz.

• Koordinata o’qlari 0х, 0у, 0z fazoda Dekartning to’g’ri burchakli koordinatalar sistemasini tashkil etadi. М 0хуz fazoning ixtiyoriy nuqtasi bo’lsin. Undan koordinata o’qlariga perpendikulyar uchta tekislik o’tkazamiz. Tekisliklarning 0х, 0у va 0z o’qlar bilan kesishish nuqtalari М1,М2 va М3 lar М nuqtaning mos o’qlardagi proeksiyalari deyiladi (10-chizma). М1 nuqta 0х o’qda х koordinataga, М2 nuqta 0у o’qda y koordinataga va М3 nuqta 0z o’qda z koordinataga ega bo’lsin. х, у va z sonlar М nuqtaning fazodagi to’g’ri burchakli (yoki dekart) koordinatalari deyiladi va М(х,у,z) ko’rinishda yoziladi. Bunda х М nuqtaning abssissasi, у ordinatasi, z esa applikatasi deyiladi.

1.9. Ikki o’q orasidagi burchak.

• 1.9. Ikki o’q orasidagi burchak.

• Р tekislikda yotuvchi va 0 nuqtada kesishuvchi l1 va l2 o’qlarni qaraymiz.

• l1 bilan l2 o’qlar orasidagi burchak deganda l1 o’qni l2 bilan ustma-ust tushishi uchun l1 ni 0 nuqta atrofida soat milini yo’nalishiga teskari yo’nalishda burilishi lozim bo’lgan burchakni tushuniladi. l1 bilan l2 orasidagi burchakni (l1^l2) kabi yoziladi. Ta‘rifga ko’ra (l1,^l2)(l2,^l1) 0≤(l1,^l2)≤ desak ikki o’q orasidagi burchak bir qiymatli aniqlanadi (12-chizma).

1.10. Qutb koordinatalar sistemasi

• 1.10. Qutb koordinatalar sistemasi

• Tekislikda dekartning to’g’ri burchakli koordinatalar sistemasidan keyin ko’p qo’llaniladigan koordinatalar sistemalaridan biri qutb koordinatalar sistemasi bilan tanishamiz.

• 13-chizma.

• Tekislikning 0 nuqtasini va undan chiquvchi l nurni qaraymiz(13-chizma).

• Bu nurni qutb o’qi uning boshi 0 nuqtani qutb deb ataymiz. М nuqta tekislikning qutbdan farqli ixtiyoriy nuqtasi bo’lsin. ОМ=r >0 masofani qutb radiusi, MOl= burchakni qutb burchagi deb ataymiz, hamda 02 deb faraz qilamiz. r va  lar М nuqtaning qutb koordinatalari deb ataladi va М(; r) kabi yoziladi, qutb uchun r =0.

1.11. Dekart va qutb koordinatalari orasidagi bog’lanish.

• 1.11. Dekart va qutb koordinatalari orasidagi bog’lanish.

1.12. Koordinatalarni almashtirish.

• 1.12. Koordinatalarni almashtirish.

• 1.Koordinata o’qlarini parallel ko’chirish.

• 2. Koordinata o’qlarini burish.