10. Ikki funksiya yiђindisi, ayirmasi, ko`paytmasi va nisbatining hosilasi

19-ma`ruza. Hosilani hisoblash qoidalari
1<sup>0</sup>. Ikki funksiya yiђindisi, ayirmasi, ko`paytmasi va nisbatining hosilasi. Aytaylik, va funksiyalari da berilgan bo`lib, nuqtada va hosilalarga ega bo`lsin. Hosila ta`rifiga ko`ra
(1)
(2)
bo`ladi.
1) funksiya x<sub>0</sub> nuqtada hosilaga ega bo`lib,

bo`ladi.
◄ deb topamiz:
.
Bu tenglikda da limitga o`tib, yuqoridagi (1) va (2) munosabatlarni e`tiborga olsak, unda

bo`lishi kelib chiqadi. Demak,
.►
2) funksiya nuqtada hosilaga ega bo`lib,

bo`ladi.
◄ deb

nisbatni quyidagicha

yozib olamiz. So`ng da limitga o`tib topamiz:


Demak,
►
3) funksiya nuqtada hosilaga ega bo`lib,

bo`ladi.
◄ Modomiki, ekan, unda nuqtaning biror atrofidagi larda bo`ladi. SHuni e`tiborga olib topamiz:


Bu tenglikda da limitga o`tib, ushbu

tenglikka kelamiz. ►
1-natija. Agar funksiya nuqtada hosilaga ega bo`lsa, funksiya nuqtada hosilaga ega bo`lib,

bo`ladi, ya`ni o`zgarmas sonni hosila ishorasidan tashqariga chiqarish mumkin.
2-natija. Agar funksiyalar nuqtada hosilalarga ega bulib, o`zgarmas sonlar bo`lsa, u holda

bo`ladi.
2<sup>0</sup>. Murakkab funksiyaning hosilasi. Faraz qilaylik, funksiya to`plamda, funksiya to`plamda berilgan bo`lib, nuqtada hosilaga, nuqtada hosilaga ega bo`lsin. U holda murakkab funksiya nuqtada hosilaga ega bo`lib,

bo`ladi.
◄ funksiyaning nuqtada hosilaga ega bo`lganligidan

bo`lishi kelib chiqadi, bunda
va da .
Keyingi tenglikning har ikki tomonini ga bo`lib topamiz:
.
Bundan da limitga o`tib,

tenglikka kelamiz. ►
3⁰. Teskari funksiyaning hosilasi. Aytaylik, funksiya da berilgan, uzluksiz va qat`iy o`suvchi (qat`iy kamayuvchi) bo`lib, nuqtada hosilaga ega bo`lsin. U holda funksiya nuqtada hosilaga ega va

bo`ladi.
◄Ravshanki,

bo`lib, da bo`ladi. Bu tenglikdan


ifodaga kelamiz. Bundan esa

bo`lishi kelib chiqadi.
Keyingi tenglikda da limitga o`tib topamiz:
►


4⁰. Misollar. 1-misol. bo`ladi, , .
◄ Aytaylik, bo`lsin. Unda funksiya uchun

bo`lib, da bo`ladi. ►
2-misol. bo`ladi, , .
◄ funksiya uchun

bo`lib, da bo`ladi. ►
3-misol. , bo`ladi, .
◄  funksiya uchun

bo`lib, da bo`ladi. Xuddi shunga o`xshash bo`lishi topiladi►
4-misol. bo`ladi, , ,  .
◄ funksiya uchun

bo`lib, da

bo`ladi. Xususan, bo`ladi. ►
5-misol. bo`ladi.
◄Teskari funksiya hosilasini hisoblash formulasiga asosan

bo`ladi.
Xuddi shunga o`xshash,



bo`ladi.►
6-misol. Faraz qilaylik,

bo`lib, va lar mavjud bo`lsin. U holda

bo`ladi.
◄ Ushbu ni logarifmlab,
,
so`ng murakkab funksiyaning hosilasini hisoblash qoidasidan foydalanib topamiz:


►
Bu,
(3)
tenglikdan, funksiya hosilasini hisoblashning quyidagi qoidasi kelib chiqadi: funksiyaning hosilasi ikki qo`shiluvchidan iborat bo`lib, birinchi qo`shiluvchi ni ko`rsatkichli funksiya deb olingan hosilasiga (bunda asos o`zgarmas deb qaraladi) ikkinchi qo`shiluvchi esa ni darajali funksiya deb olingan hosilasiga (bunda daraja ko`rsatkich o`zgarmas deb qaraladi) teng bo`ladi.


7-misol. Ushbu
,
funksiyalarning hosilalari topilsin.
◄ (3) formuladan foydalanib topamiz:



►
5⁰. Hosilalar jadvali. Quyida sodda funksiyalarning hosilalarini ifodalovchi formulalarni keltiramiz:

1. 
   
   

2.

3.

4.



5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.