10-mavzu. Aniq integralni geometrik tadbiqlari. Yoy uzunligini va yuzalarni hisoblash

10-mavzu. Aniq integralni geometrik tadbiqlari. Yoy uzunligini va yuzalarni hisoblash.
1⁰. Yuzalarni hisoblash.

1. 
   OX o‘qqa yopishgan egri chiziqli trapetsiyaning yuzi
   

(1)
formula bilan aniqlanadi.

o‘zgaruvchi yuzaning differensiali . Agar egri chiziq tenglamalar bilan berilgan bo‘lsa, u holda

2. 
   OY o‘qqa yopishgan egri chiziqli trapetsiyaning yuzi
   

(2)
O‘zgaruvchi yuzaning differensiali .
2⁰. a) egri chiziqli trapetsiyaning OX o‘q atrofida aylanishidan hosil bo‘lgan jismning hajmi
(3)
formula bilan aniqlanadi.

O‘zgaruvchi hajmning differensiali .

b) OY o‘qqa yopishgan egri chiziqli trapetsiyaning OY o‘q atrofida aylanishidan hosil bo‘lgan jismning hajmi
(4)
formula bilan aniqlanadi.
O‘zgaruvchi hajmning differensiali .


1-misol. chiziqlar bilan chegaralangan figura yuzi hisoblansin.
Yechish.S yuzaning differensiali quyidagiga teng:

[0; 3] oraliqda integrallaymiz:


2-misol. chiziqlar bilan chegaralangan yuza hisoblansin.
Yechish. Bu yerda yuza elementi dS ni

deb olish qulay. [0, 8] intervalda y bo‘yicha yuzaning qiymatini topamiz:


3-misol. chiziqlar bilan chegaralangan figuraning OX va OY o‘qlari atrofida aylanishidan hosil bo‘lgan jismning hajmi topilsin.
Yechish. a) Hajm differensiali

b) Hajm differensiali

Misollar.
Quyidagi chiziqlar bilan chegaralangan figuralarning yuzi topilsin.



. Aniq integralni geometrik tadbiqlari. Aylanma jismning hajmini va sirtini yuzini hisoblash.
egri chiziq, OX o‘q vax=a, x=b to‘g‘ri chiziqlar bilan chegaralangan egri chiziqli trapetsiyaning OX o‘qi atrofida aylanishidan hosil bo‘lgan jismni qaraylik. Bu jismni abssissalar o‘qiga perpendikulyar tekislik bilan kesishdan hosil bo‘lgan ixtiyoriy kesim doira bo‘ladi. Uning yuzi
Hajmni hisoblash (12) umumiy formulasini tadbiq etib, aylanma jismning hajmini hisoblash formulasini hosil qilamiz:
(13)
Misol. ellipsniOX va OY o‘qlari atrofida aylantirish natijasida hosil qilingan jismlarning hajmlarini hisoblang.
Yechish. Ellips tenglamasidan:

Ellipsni OX o‘qi atrofida aylantirishdan hosil bo‘lgan jismning hajmi:

Ellipsni OY o‘qi atrofida aylantirishdan hosil bo‘lgan jismning hajmi:


Misollar.
Q uyidagi chiziqlar bilan chegaralangan figuralarning aylanishidan hosil bo‘lgan jismlarning hajmlari aniqlansin:
, OX va OY o‘q atrofida J:
, OX o‘q atrofida J:
, OY o‘q atrofida J:
, to‘g‘ri chiziq atrofida J:
, to‘g‘ri chiziq atrofida J:
, to‘g‘ri chiziq atrofida J:
, OX o‘q atrofida J:
, OX o‘q atrofida J:
, OY o‘q atrofida J:
, OY o‘q atrofida J: .