11-Занятия. Евклидовы пространства. Существование ортогонального базиса. Процесс ортогонолизации базиса. Ортонормальные базисы

11-Занятия. Евклидовы пространства. Существование ортогонального базиса. Процесс ортогонолизации базиса. Ортонормальные базисы.

Пусть - действительное линейное пространство. Говорят, что на задано скалярное произведение, если каждой паре векторов поставлено в соответствие действительное число , причем выполняются следующце аксиомы:

1. 
   для любых ;
   
2. 
   для Любых ;
   
3. 
   для любых и любого ;
   
4. 
   для любого ненулевого вектора .
   

Действительное линейное пространство с определенным на нем скалярным произведением называется евклидовым пространством. Приведем несколько важных примеров евклидовых пространств.
1. Скалярное произведение векторов на определим как произведение длин этих векторов на косинус угла между ними. Тогда евклидово пространство.
2. Для любых двух функций положим
(11.1)
Эта формула задает скалярное произведение на . Значит, евклидово пространство.
3. Скалярное произведение для и определим формулой
(11.2)
Тогда - евклидово пространство.
Теорема 11.1. Любое конечномерное действительное линейное пространство можно превратить в евклидово пространство.
Длиной вектора в евклидовом пространстве называют число .
Введенное определение в пространстве согласуется с обычным определением длины вектора.
В пространстве длина вектора выражается формулой

B пространстве длина вектора выражается формулой

Величину называют нормой функции .
Вектор, длина которого равна единице, называется нормированны.м. У множение ненулевого вектора на число, обратное его длине, называется нормированием вектора.
Следующая теорема устанавливает связь между скалярным произведением векторов и их длинами.