16-§ Birinchi Tartibli operatortip koeffisentli differensial tenglamalar

16-§ Birinchi Tartibli operatortip koeffisentli differensial tenglamalar

Faraz qilaylik, u(t) funksiya t skalyar argumentining funksiyasi bo`lib, qiymatlarini U Gidberd fazodan qabul qilsin, f(t) ham t skalyar argumentining funksiyasi bo`lib, qiymatlarini F. Gilberd fazosidan qabul qilsin, A U dan F ga akslantiruvchi chiziqli operator. Ushbu

Ko`rinishidagi tenglamalarga operator tip koeffitsiyentli differensial tenglama deb ataymiz.
Ta’rif 16.1 [10.16] (16.1) tenlamamizning yechimi deb ikki marta kuchli differensiallanuvchi, har bir uchun A operatorning aniqlanish sohasida tegishli va (16.1) tenglamani qanoatlantiruvchi funksiyaga aytiladi.
Ta’rif 16.2 (16.1) tenlama qo`yilgan Kosi masalasi deb, (16.1) tenglamani va , shartni qanoatlantiruvchi funksiyani toppish masalaiga aytiladi.
Oldingi bergan ta’rif ( korrektlik haqida ) endi quyidagi o`rnishda ifodalanadi [18]: (16.1) tenglama uchun Koshi masalasi korrekt deyiladi, agar quyidagi shartlar bajarilsa:
1)ixtoyoriy uchun masala yechimi mavjud;
2)masala yechimi yagona;
3)masala yechimi boshlng`ich berilganlarga uzluksiz bog`liq, ya’ni dan kelib chiqadi.
Izoh! [18] A operatorning t ga bog`liq emasligidan Koshi masalasi biror [O,T] kesmada korrekt bo`ls, uning ixtiyoriy kesmada korrekt bo`lishi kelib chqadi, ya’ni butun yarim o`qda korrektligi.
Bunga ishonch hosil qilish uchun [0,2T] kesmani qarash yetarli. Faraz qilaylik, u(t) funksiya [0,T] kesmada Koshi masalasini yechimi bo`lsin. Yechimning u(T) qiymatidan foydalanib, ikkinchi yechimn aniqlaymiz:
,
, ,
Bu yerda u(t) funksiya (16.1) tenglamaning u(0)=u(T) shartini qanoatlantiruvchi yechimi. Endi oddiygina ko`rish mumkinki funksiya (16.1) tenglamaning [0 2T] kesmada shartni qanoatlantiruvchi yechimi bo`ladi.
Endi ushbu bir jinsli tenglmani qaraymiz.

Bu tenglamaga , umuman aytganda Koshi masalasida korrekt yoki nokorrekt bo`lish ham mumkin. Koshi masalasining (16.1) tenglamaga shartli korrektlikka tekshirish birinchi marta [12] ishga o`tkazilgan edi.
Faraz qilaylik, (16.2) tenglamadagi A operator o`z-o`ziga qo`shma nuqtali spektorga ega bo`sin. Boshqacha qilib aytganda, A operator ortonormallashtirgan xos elementlar sistemasi va unga mos xos qiymatlar sistemasiga ega.
,
Bu ko`rinish yordamida (16.2) tenglama oddiy differensial tenglamalar sistemasiga ajraladi.

Boslang`ich shartdan esa bo`ladi. Natijada bulardan ni ko`rinishida topamiz. Bu yerdan ko`rinadiki bo`lsa, Koshi masalasi korrekt boladi.
Haqiqatan bu holda

bo`ladi.
Agar ketma- ketligi yuqoridan chegaralanmagan bo`lsa, u holda qaralayotgan Koshi masalasi nokorrekt bo`ladi.
Haqiqatan bu holda ixtyoriy , t>0, uchun shunday u(0) mavjudki, bo`lsa, bo`ladi.
Teorema 16.1 (16.2) tenglamada U va F haqiqiy Gilberd fazolar bo`libA o`z- o`ziga qo`shma operator bo`lsin. U holda quyidagi tenglama o`rinli:
. (16.4)
Isbot [18]. Faraz qilylik, barcha lar uchun bo`lib, u(t) funksiya ikki marta uzluksizdifferensiallanuvchi bo`ladi.
Ushbu
,
Funksiyani qaraymiz. funksiyani differensiallab, (16.2) tenglamani e’tiborga olib, bo`laklab integrallashdan keyin topamiz:
.
Endi funksiyani ikki mart differensiallaymiz. Koshi-Bunyakovskiy tengsizligini e’tborga olib, hosil qilamiz.

Oxirgi tengsizlik funksiyani botiqligini ko`rsatadi. Shuning uchun:

O`rinli bo`ladi. Bunda esa (16.4) tengsizlik kelib chiqadi.
Endi u(t) funksiyani ikkinchi tartibli hosilaa ega bo`lmagan holatiniqarab chiqamiz. h parametrga bog`liq ushbu funksiyani

Qaraymiz. Bu funksiya yetarli silliq bo`lib,

Shartlarni qanoatlntiruvchi. Bu funksiydan foydalanib, quyidagi

Funksiya tuamiz. Biz bu yerda konkret funksiyani oldik. Umumiy olganda esa funksiya yetarlicha silliq yuqoridagi shartlarni qanoatantiruvchi funksiya bo`lishi mumkin. funksiya ikki marta uzluksiz differensiallanuvchi bo`lib, (16.2) tenglamani [h,T-h] kesmadagi yechimi bo`ladi.
Yuqoridagi mulohazalardan ixtiyoriy lar funksiya uchun yoki quyidagi tenglama o`rinli.

Bo`lishi kelib chiadi. Oxirgi tenglikda limitga o`tish (16.2) tengsizlikni bu holda ham u(t) funksiyaga o`rinli ekanligini isbotlagan bo`lamiz.
Agar u(t) funksiya biror uchun 0 ga teng bo`lsa, u holda ixtiyoriy uchun u(t)=0 bo`lishi (16.4) tengsizlikdan kelib chiqadi. Teorema isbotkandi.
Natija 16.1 (16.2) tenglama uchun Koshi masalasining yechimi yagonadir.
Teorema 16.2 [18] (16.2) tenglama uchun Koshi masalasi korrekt bo`lishi uchun A operatorning yuqoridan yarim cegaraangan bo`lishi zarur va yetarlidir.
Isbot. faraz qilaylik A oprerator mos keladigan proyeksiayon operatorlar bo`lsin.

(16.2) tenglamada qoysak Koshi masalasini yechimi ushbu formula bilan oladi

Bu haqiqatdan ham shunday bo`lsin chunki yuqoridagi bu masala yechimi yagonaligi isbotlangan va bu funksiya tenglamanii va boshlang`ich shartni qanoatlantiradi. Yechumning berilganlarga uzluksiz bog`liq bo`ladi.

Isbot. 16.1 – teoremadagi kabi va u(t) ikki marta uzluksiz differensiallanuvchi bo`lsa va funksiyalarni ham yuqoridagidek aniqlaymiz.

Bu funksiyalar differensiallb topamiz
,

,
.
Bulardan esa teorema tasdig`I kelib chiqadi. Normal operator ushbu ko`rinishda yozish mumkin
,
bu yerda o`z-o`ziga qo`shma va o`rin almashtiruvchi operatorlar.
Teorema 16.4 [18]. (16.2) tenglamaga qo`yilgan Koshi masalasi bu xolda (A norma operatori) korrektk `oyilgan bolishi uchun X operetorning yuqoridan yarim chegaralangan bolishi zarur va yetarli.
Bu teorema isboti 16.2 kabi isbotlanadi.
Teorema 16.5. (16.7) tenglama yechimi uchun ushbu baxo o`rinli
.
Isbot. Usbu funksiya qaraymiz

va uning mos hosilalarini hisoblaymiz

.
Bu yerdan esa (16.8) tengsizlik kelib chiqadi.
Natija 16.2. (16..) tenglamaga qo`yilgan Koshi masalasining yechimi yagona va to`plam turgundir.
Misol 2. sohada ushbu tenglamani

va bu tenglamaga qo`yilgan 4- paragrafdagi nokerekt maslalani qaraymiz.
A operator sidatida da aniqlangan ushbu differensial ifoda

va chegaraviy shartlar bilan ifodalangan operator qaraymiz.
B operator sifatida esa funksiya ko`paytruvchi operatorni topamiz/ 16.5 teoremaga muvofiq bu masala ham shartni korrektdir.

Endi A operator yuqordan yarim chegaralangn bo`lmasin. U holsa ixtiyoriy a>0 uchun shunday b>a topiladiki, qism fazo bo`sh emas.

Faraz qilaylik, bo`lsin. U holda Koshi masalasi yechiming normasi ushbu tengsizlini qanoatlantirdi.

va sinfg tegishl funksiyani toping.

A operator sifatida fazoda aniqlangan ushbu differential ifoda

va chegaraviy shartlar bilan fodalanuvchi operatorni qaraymiz. U holda yuqorida keltirilgan S.G. Kreyn teoremasiga muvofiq bu masalaning shartli korrekt ekanlgi kelib chiqadi.
II. Kompleks sonlar maydoni ustida aniqlangan Gilberd fazolarida (16.2) tenglamani operator-koeffitsiyenti normal operator bo`lgan holni qaraymiz. Shunday qilib (16.2) tenglamada U kompleks sonlar maydoni ustidagi Gilberd fazosi A normal operatori bo`lsin.
Teorema 16.3 [18] Faraz qilaylik u(t) (16.2) tenglamaning (0,T) dagi yechimi bo`lsin. U holda (16.4) tengsizlik o`rinli.