21-ma`ruza. Gruppa. Halqa. Jism. Maydon Reja

21-ma`ruza. Gruppa. Halqa. Jism. Maydon
Reja:
1. Qism gruppalar. Misollar.
2. Gruppalar va ularga misollar.
3. Gruppalarning sodda xossalari.
4. Umumlashgan assotsiativ qonuni .
5. Gomomorf va izomorf gruppalar.

Tayanch so`z va iboralar: Gruppa, halqa, maydon, monoid, yarim gruppa, additive gruppa, multiplikativ gruppa, abel gruppa, kommutativ gruppa, yarim halqa.

Faraz etaylik, bizga bitta binar ⊤ va unar  algebraik amal aniqlangan G bo‘sh bo‘lmagan to‘plam berilgan bo‘lsin. Agarda G to‘plamning elementlari unda aniqlangan ⊤ amalga nisbatan assotsiativlik qonuniga bo‘ysinsa, ya’ni:

1). a,b,c G  (a⊤ b) ⊤ c=a⊤ (b ⊤c) tenglikni qanoatlantirsa,  G; ⊤ algebraga ⊤ amalga nisbatan yarim gruppa deyiladi.
Agar  G; ⊤,* - yarim gruppa
2). a G,  eG , a ⊤e = e⊤a= a;
3). a G,  a' G , a⊤a' = a'⊤a= e;
shartlarni qanoatlantirsa,  G; ⊤,* ga ⊤ amalga nisbatan gruppa deyiladi.
ye ga G = G; ⊤,* gruppaning neytral elementi, a' ga esa a elementga simmetrik element deyiladi.
Agarda G = G; ⊤ ,* gruppaning elementlari
4). a,b G  a⊤ b = b ⊤ a shartni qanoatlantirsa,G ga kommutativ gruppa yoki Abel gruppasi deyiladi.
Neytral elementga ega bo‘lgan yarim gruppaga monoid deyiladi.
Agar M G bo‘lib  M ; ⊤, * gruppa bo‘lsa, bu gruppaga G = G; ⊤,* gruppaning qism gruppasi deyiladi.
1-teorema. Agar G = G; ⊤, * gruppa bo‘lsa, uning ixtiyoriy qism to‘plami M ning ⊤ amalga nisbatan qism gruppa bo‘lishi uchun:
1).  h,h h ⊤ h ;
2).  h, h^-1 
shartlarning bajarilishi zarur va yetarlidir.
Isboti. Zaruriy shart.  M ; ⊤, * gruppa bo‘lsin, u holda 1) va 2) shartlarning bajarilishi gruppa ta’rifidan bevosita kelib chiqadi.
Yetarli sharti. 1) va 2) shartlar bajarilsin. U holda M G qism to‘plamning G ning qism gruppasi bo‘lishini ko‘rsatamiz. Shartga ko‘ra  h,h uchun h ⊤ h , ya’ni M to‘plam ⊤ amalga nisbatan yopiqdir va h, h, h  lar uchun h ⊤ (h⊤ h)=(h⊤ h)⊤ h o‘rinli, chunki h, h, h  G . 2) va 1) shartlardan h⊤ h^-1 = eM.
Demak, 1), 2), 3) shartlar bajariladi va  M ; ⊤, * - gruppa, ya’ni G ning qism gruppasi.
Misollar . 1. N-natural sonlar to‘plamini arifmetik qo‘shish amaliga nisbatan tekshiraylik. Ma’lumki,  n,m N, m+n  N.
1).  m, n,l N, m=(n+l) =(m+n)+l bajariladi.
2).  m,  eN, m+e= e+m= m, e=0 N, ya’ni bu shart bajarilmaydi .
Demak, N= N; +  yarim gruppa ekan .
Endi shu to‘plamni ko‘paytirishga nisbatan tekshiraylik.  m,n N m nN.
1).  m,n,e N, m(n e)=(m  n) e bajariladi.
2).  m  N ,  e=1N , m1 =1 m= m bajariladi .
3).  m  N,  mN, m  m = m  m =1 bo‘lishi kerak .
m =1/m  N . Demak, bu shart bajarilmaydi . Shunday qilib N= N,   monoid bo‘lar ekan .
2. Barcha butun sonlar to‘plami Z qo‘shish amaliga nisbatan gruppa bo‘ladi .