3- ma’ruza. Vektorlarning ekvivalent sistemalari. Vektorlar chekli sistemasining bazisi va rangi. Reja

3- ma’ruza. Vektorlarning ekvivalent sistemalari. Vektorlar chekli sistemasining bazisi va rangi.

Reja.

1. Vektorlar sistemasining chiziqli qobig’i.

2. Ekvivalent vektоrlar sistemalari.

3. Vektorlar chekli sistemasining bazisi, rangi va ularning xossalari.

Vektorlar chekli sistemasining chiziqli qobig’i.

Ta’rif 1. (1) vektorlar sistemasining barcha chiziqli kombinatsiyalari to’plamiga (1) ning chiziqli qobig’i deyiladi va u , yoki kabi belgilanadi.

Demak, ta’rifga ko’ra

.

Vektorlar chekli sistemasi chiziqli qobig’ining ba’zi xossalarini keltirib o’tamiz.

1. Agar va bo’lsa, u holda .

2. Agar bo’lsa, u holda vektorlar sistemasi chiziqli bog’liq bo’ladi.

3. Agar va bo’lsa, u holda vektorlar sistemasi chiziqli bog’liq bo’ladi.

4. Agar va vektorlar sistemasi chiziqli erkli bo’lsa, u holda .

5. n-o’lchamli arifmetik vektor fazodan olingan ixtiyoriy n+1 yoki undan ortiq vektorlar sistemasi chiziqli bog’liq bo’ladi.

Ekvivalent vektоrlar sistemalari. arifmetik vektor fazoning biror S va T vektorlar sistemalari berilgan bo’lsin.

Ta’rif 2. Agar S sistemadan olingan ixtiyoriy vektorni T sistemaning vektorlari orqali chiziqli ifodalash mumkin bo’lsa, va aksincha, T sistemadan olingan ixtiyoriy vektorni S sistemaning vektorlari orqali chiziqli ifodalash mumkin bo’lsa, u holda bu S va T sistemalarni ekvivalent vektor sistemalar deb ataladi va u S ~ T ko’rinishida belgilanadi.

Bu binar munosabat refleksif, simmetrik va tranzitiv ekanini tekshirish qiyin emas, demak, binar munosabat ekvivalentlik munosabati bo’ladi.

Teorema 1. S va T sistemaslar ekvivalent bo’lishi uchun ularning chiziqli qobiqlari teng bo’lishi zarur va yetarli.

Teorema 2. Agar ikkita vektorlar sistemasi ekvivalent bo’lib, bu sistemalar chiziqli erkli bo’lsa, u holda bu sistemadagi vektorlar soni teng bo’ladi.

Ta’rif 3. Vektorlar sistemasidagi vektorlarni quyidagicha o’zgartirish elementar almashtirishlar deyiladi:

a) sistemadagi ixtiyoriy vektorni noldan farqli skalyarga ko’paytirish;

b) sistema vektorlaridan birini skalyarga ko’paytirib, shu sistemaning boshqa vektoriga qo’shish (ayirish);

c) sistemadan nol vektorni chiqarish (kiritish).

Teorema 3. Agar vektorlarning bir chekli sistemasi ikkinchi vektorlar sistemasidagi vektorlarni elementar almashtirishlar yordamida hosil qilingan bo’lsa, u holda bu vektorlar sistemalari ekvivalentdir.

Vektorlar chekli sistemasining bazisi va rangi.

Ta’rif 4. Chekli vektorlar sistemasining bazisi deb, uning shu vektor sistemaga ekvivalent bo’lgan bo’sh bo’lmagan chiziqli erkli sistemaostisiga aytiladi.

Boshqacha aytganda, vektor sistemaning bazisi – uning bo’sh bo’lmagan chiziqli erkli sistemaostisi bo’lib, sistemadagi ixtiyoriy vektor bu sistemaostidagi vektorlar orqali chiziqli ifodalanadi.

Teorema 4. Kamida bitta noldan farqli vektorga ega bo’lgan chekli vektorlar sistemasi bazisga ega. Vektorlar chekli sistemasining ixtiyoriy bazisidagi vektorlari soni teng bo’ladi.

Isboti. (1) faqat nol vektorlardan iborat bo’lmagan vektorlar sistemasi berilgan bo’lsin. Nol vektorlarni sistemadan chiqarib tashlash mumkin, chunki hosil bo’lgan sistema dastlabki sistemaga ekvivalent bo’ladi. Shuning uchun, deb hisoblaymiz. Agar (1) sistema chiziqli erkli bo’lsa, bu sistema bazis bo’ladi.

Agar (1) sistema chiziqli bog’liq bo’lsa, u holda shunday vektor, masalan, vektor mavjudki, u qolgan vektorlar orqali chiziqli ifodalanadi. Demak, (2) dastlabki vektorlar sistemasiga ekvivalent va noldan farqli vektorga ega. (2) sistema chiziqli erkli bo’lsa, bu sistema (1) ning bazisi bo’ladi. Agar (2) sistema chiziqli bog’liq bo’lsa, u holda shunday vektor vektor mavjudki, u qolgan vektorlar orqali chiziqli ifodalanadi va hakozo. Bu jarayonni davom ettirib, birorta vektori qolganlari orqali chiziqli ifodalanmaydigan sistemaostini hosil qilamiz. Bu sistemaosti (1) sistemaning bazisi bo’ladi, chunki u chiziqli erkli va bo’sh emas ( vektorga ega).

Berilgan vektor sistemaning ikkita bazisi

berilgan bo’lsin. Har ikki vektor sistema (1) sistemaga ekvivalent bo’lgani uchun bu bazislar ekvivalentdir. Ekvivalent vektorlar sistemasi haqidagi teoremaga ko’ra, bu bazislar bir xil sondagi vektorlardan tashkil topgan.

Ta’rif 5. Vektorlar sistemasining rangi deb, bu sistemaning ixtiyoriy bazisiga kiruvchi vektorlar soniga aytiladi. Faqatgina nol vektordan iborat sistemaning rangi nolga teng deb hisoblanadi.

Teorema 5. Agar bo’lsa, u holda vektor sistemaning rangi vektor sistemaning rangidan kichik yoki uning rangiga teng bo’ladi.

Vektorlar chekli sistemasi rangining ba’zi xossalarini ko’rib o’tamiz.

1⁰. Chekli vektor sistemaning ixtiyoriy sistemaostisining rangi berilgan sistemaning rangidan katta emas.

2⁰. Chekli ekvivalent vektorlar sistemasilarining ranglari teng.

3⁰. n – o’lchovli vektor fazodan olingan ixtiyoriy chekli vektor sistemasining rangi n dan katta emas.

4⁰. (1) vektorlar sistemasining rangi (2) vektor sistemasining rangiga teng bo’lsa, vektorni (1) vektorlar sistemasi orqali chiziqli ifodalash mumkin.