6-amaliyot mashg’uloti. Normal taqsimot bilan bog’liq taqsimotlar: xi-kvadrat, styudent va fisher taqsimotlari. Reja: Normal taqsimotning xossalari

Xi-kvadrat, styudent va fisher taqsimotlari


6-AMALIYOT MASHG’ULOTI.
NORMAL TAQSIMOT BILAN BOG’LIQ TAQSIMOTLAR:
XI-KVADRAT, STYUDENT VA FISHER TAQSIMOTLARI.


Reja:
1. Normal taqsimotning xossalari.
2. Gamma taqsimoti va uning xossalari.
3. Xi-kvadrat taqsimoti va uning xossalari.
4. Styudent taqsimoti va uning xossalari.
5. Fisher taqsimoti va uning xossalari.


NORMAL TAQSIMOTNING XOSSALARI.
Avval va funksiyalar orasidagi bog’lanishni qarab chiqamiz.

1-xossa. Istalgan uchun ushbu
=
munosabat o’rinli.
Isbot. ko’rinishdagi almashtirish olsak, u holda

tenglikni hosil qilamiz.

Bu xossani tasodifiy miqdorlar uchun quyidagicha yozish mumkin.

Natija 1. Agar bo’lsa, u holda .
Isbot. tasodifiy miqdor taqsimotga egaligini ko’rsatamiz:

Natija 2. Agar bo’lsa, u holda
.
Bu formulalardan ko’rinadiki, normal taqsimotga ega tasodifiy miqdor uchun har qanday ehtimolliklarni hisoblash funksiyani hisoblashga keltiriladi va bu funksiya quyidagi xossalarga ega.


1-xossa. .


2-xossa. Agar bo’lsa, u holda ixtiyoriy uchun

Isbot. tenglikni hisobga olsak, bo’lganda

I. Gamma taqsimot va uning xossalari.
Ta’rif. Agar tasodifiy miqdorning zichlik funksiyasi
(1)
ko’rinishda bo’lsa, u holda tasodifiy miqdor gamma taqsimotiga ega deyiladi, bu yerda , va - gamma funksiya: , , . Gamma taqsimotni orqali belgilaymiz.
tasodifiy miqdor xarakteristik funksiyasini hisoblaymiz:

.
Demak, . Xarakteristik funksiya yordamida gamma taqsimot momentlarini oson hisoblash mumkin: , .

Xossalari:
1) Agar bog’liqsiz tasodifiy miqdorlar bo’lib, bo’lsa, u holda ning taqsimoti bo’ladi.
Bu xossani isbotlash uchun xarakteristik funksiyalardan foydalanamiz. taqsimotning xarakteristik funksiyasi ga teng. Bog’liqsiz tasodifiy miqdorlar yig’indisining xarakteristik funksiyasi xarakteristik funksiyalar ko’paytmasiga teng ekanligidan foydalansak, tasodifiy miqdorning xarakteristik funksiyasi

bo’ladi. xarakteristik funksiya esa taqsimotning xarakteristik funksiyasidir.

2) Agar standart normal taqsimotga ega bo’lsa, u holda tasodifiy miqdor taqsimotga ega bo’ladi.
Buni ko’rsatish uchun avval tasodifiy miqdorning taqsimotini topamiz. Agar bo’lsa: , bo’lsa:

bo’ladi. Bu yerda - standart normal taqsimotning taqsimot funksiyasi. Endi tasodifiy miqdorning zichlik funksiyasini topamiz. da:

.
da: .
Demak, tasodifiy miqdorning zichlik funksiyasi
,
taqsimot zichlik funksiyasiga teng ekan.