8. 1- eng kichik kvadratlar usuli. Interpolatsiyalash masalasi

VIII-BOB Splayn-yaqinlashtirish
Ushbu bobda interpolatsiyalash masalasini eng kichik kvadratlar usuli,kubik splayn qurish orqali yechimini topish o‘rganiladi.
8.1- Eng kichik kvadratlar usuli.Interpolatsiyalash masalasi

			...
y			...

1-jadval
(i= ) nuqtalarda lar ma’lum bo‘lsin (1-jadval). [ ] nuqtada ning qiymatini topish masalasi interpolatsiyalash masalasidir. Bu masalani eng kichik kvadratlar usulida topish talab qilinsin.
1.Funksiyalarning nuqtali kvadratik approksimatsiyasi.
Amaliyotda ko‘pincha yaqinlashuvchi ko‘phadning berilgan tartibi tugun nuqtalar soni dan sezilarli darajada kichik bo‘ladi.Bu holda interpolatsiyalash, umuman aytganda,mumkin bo‘lmay qoladi va berilgan funksiya uchun yaqinlashtiruvchi ko‘phadni qurishning boshqa usullariga o‘tishga to‘g‘ri keladi. Odatda bu yerda eng kichik kvadratlarning nuqtali usuli qo‘llaniladi.Bu usulga asosan nuqtalar to‘plamida
(1)
ko‘phadning funksiyadan og‘ishi o‘lchovi sifatida berilgan nuqtalar sistemasida ko‘phadning funksiyadan og‘ishlari kvadratlari yig‘indisiga teng.
, (2)
kattalik qabul qilinadi.
Ayonki, bu koeffitsentlarning funksiyasi.Bu koeffitsentlarni shunday tanlash kerakki, kattalik eng kichik bo‘lsin.Bunda olingan ko‘phad beril-gan funksiya uchun approksimatsiya qiluvchi,hamda bu ko‘phadni qurish jarayoni – funksiyani nuqtali kvadratik approksimatsiyasi yoki nuqtali kvadratik approksimatsiyalash deyiladi.
Nuqtali kvadratik approksimatsiyalash masalasini yechish uchun differensial hisobning umumiy usulidan foydalanamiz.
,
kattalikdan barcha o‘zgaruvchilar bo‘yicha xususiy hosilalar olamiz, bunda .Bu xususiy hosilalarni nolga tenglab, noma’lumlarni topish uchun quyidagi ta noma’lumli ta tenglamalar sistemasini olamiz:
(3)
Agar nuqtalar orasida ustma-ust tushadiganlari bo‘lmasa va bo‘lsa, u holda (3) sistema determinanti noldan farqli va bu sistema yagona yechimga ega ekanligini isbotlash mumkin.Bu koeffit-sentlar bilan (1) ko‘phad eng kichik kvadratik og‘ish ga ega bo‘ladi.
Agar bo‘lsa, u holda nuqtalar sistemasi uchun app-roksimatsiya qiluvchi ko‘phad Lagranj ko‘phadi bilan ustma-ust tushadi,hamda =0.
Shunday qilib,funksiyalarni approksimatsiyasi interpolatsiyalashga qaraganda umumiyroq jarayondir.EHM larida iglaganda (3) chiziqli tenglamalar sistemasi uchun iteratsion metodlarni qo‘llash qulaydir.Xususan,(4) sistemaning matritsasi musbat aniqlangan bo‘lgani uchun Zeydel iteratsion jarayoni yaqinlashuvchi bo‘ladi.
Umumiy holda,berilgan funksiya uchun approksimatsiya qiluvchi ko‘phad umumlashgan bo‘lganda:
,
eng kichik kvadratlar usuli bo‘yicha uning koeffitsentlarini topish uchun

kvadratlar yig‘indisini minimallashtirishga to‘g‘ri keladi,bunda – nuqta-larning berilgan sistemasi.Funksiya ekstremumining zaruriy shartlarini qo‘llab quyidagi tenglamalar sistemasini olamiz
(6)
Quyidagi belgilashlarni kiritib

(6)-sistemani
(7)
ko‘rinishga olib kelamiz.Bu sistemadan koeffitsentlar aniqlanadi.

Eng kichik kvadratlar usulida chiziqni bilan almashtiraylik.
Nuqtalar to‘plami masalaning berilgan qiymatlaridir.Nuqtalar to‘plamini ning qiymatlari bilan almashtiriladi.Bunda xatolik eng kichik bo‘lishi uchun
(4)
funksiya minimum qiymatga erishishi kerak. funksiya topiladigan qiymatlarida tajriba nuqtalariga eng yaqin bo‘lishi uchun,noma’lum koeffitsentlardan olingan xususiy hosila 0 ga teng bo‘lishi kerak
(5)
(5) dan larni topish munkin .Ya’ni





(6)
(6) sistemadan larni topib funksiyani yozamiz.So‘ngra ning qiymatini topamiz.