Al-xorazmiy nomli urganch davlat universiteti fizika-matematika fakulteti amaliy matematika
Download 134.43 Kb. Pdf ko'rish
|
- Bu sahifa navigatsiya:
- VAZIRLIGI AL-XORAZMIY NOMLI URGANCH DAVLAT UNIVERSITETI
- Kirish
- 1.1.M a s a l a n i n g q o ’ y i l i s h i.
- 1.2.Ko’p qadamli metodlardagi approksimatsiyaning xatoligi
- 1.3.Adamsning ekstrapolyasion metodlari.
- 1.4.Adamsning interpolyasion metodlari.
- Foydalanilgan adabiyotlar
O’ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY VA O’RTA MAXSUS TA’LIM VAZIRLIGI
AL-XORAZMIY NOMLI URGANCH DAVLAT UNIVERSITETI FIZIKA-MATEMATIKA FAKULTETI AMALIY MATEMATIKA VA INFORMATIKA YO`NALISHI 301-GURUH TALABASI TAJIMURATOV HURSANDNING HISOBLASH USULLARI FANIDAN Mavzu: Ko’p qadamli ayirmali usullar. Topshirdi: Tajimuratov H. Qabul qildi: Salayev S. Urganch 2015 REJA: I. Kirish. II. Asosiy qism 2.1
Masalaning qo’yilishi . 2.2 Ko’p qadamli metodlardagi approksimatsiyaning xatoligi. 2.3 Adamsning ekstrapolyasion metodlari.
2.4 Adamsning interpolyasion metodlari.
IV. Adabiyotlar.
Kirish Elektron hisoblash mashinalarining inson faoliyatining turli soxalariga tobora chuqurroq kirib borishi hozirgi zamon muxandislaridan hisoblash texnikasi va amaliy matematika usullarini yetarli darajada bilishlarini talab etmoqda. Oliy texnika o`quv yurtlarining talabalari birinchi kursdayoq hisoblash usullari va algoritmik tillarni o`rganadilar, ulardan umummuxandislik va maxsus fanlar bo`yicha laboratoriya ishlari, referatlari hamda diplom ishlarini bajarishda foydalanadilar. Matematika turmush masalalarini yechishga bo`lgan ehtiyoj, ya`ni yuzalar va hajmlarni o`lchash, kema harakatini boshqarish, yulduzlar harakatini kuzatish va boshqalar tufayli vujudga kelganligi uchun ham u hisoblash matematikasi bo`lib, uning maqsadi masala yechimini son shaklida topishdan iborat. Bu fikrga ishonch hosil qilish uchun matematika tarixiga nazar tashlash kifoya. IX-X asrlarda O`rta Osiyoda matematika, astranomiya va boshqa tabiiy fanlar rivojlana boshladi. Bu erda al-Xorazmiydek buyuk alloma dunyoga keldi. Hisoblash matematikasining mutaxassisi ingliz matematigi E.But o`zini «Sonli metodlar» kitobining kirish qismida «Hisoblash metodlarini sistemaga solganligi uchun birinchi arab matematigi Muxammad ibn – Muso al – Xorazmiydan minnatdormiz» deb yozgan edi. Al-Xorazmiy "Xind sanog’i to`g’risida"gi arifmetik risolasida o`nlik sanoq, sistemasini va bu sistemada to`rtta arifmetik amallarni bajarish qoidalarini birinchi bo`lib bayon qilgan. Bu risola XII asrda lotin tiliga tarjima qilingan va u Osiyoda ham, Evropada ham o`nlik sanoq, sistemasini qo`llanilishiga va tarqalishiga poydevor bo`lgan. Evropada bunday qoidalar al-Xorazmiy nomi bilan atalib, "Algorizmi" deyilgan. Keyinchalik u Algorithm va Algorithmus ko`rinishlarini olib, oxirida "algoritm" so`ziga aylangan.
Hozirgi vaqtda algoritm deb ma`lum bir tipga oid xamma masalalarni echishda qo`llaniladigan barcha amallar sistemasining muayyan tartibda bajarilishi haqidagi aniq qoidaga aytiladi. Al-Xorazmiyning "Kitob al-muxtasar fi hisob aljabr va muqobala" nomli algebraik risolasida birinchi marta algebra matematikaning mustaqil bo`limi sifatida qaraladi. Unda algebraik miqdorlar ustida amallar bajarish qoidalari, 1- va 2-darajali algebraik tenglamalarni echish usullari va bunday tenglamalarga keladigan hayotiy masalalar keltirilgan. Risola lotinchaga tarjima qilinganda "val- muqobala" tushurib qoldirilgan va "algebra" nomi bilan jahonga tarqalgan (shuning uchun bo`lsa kerak o’rta asrlarda Evropa davlatlarida singan qo`l-oyoqni tiklaydigan tabibni algebrist deb atashgan). Abul Vafo al-Bo`zjoniy 960 yilda sinuslar jadvalini hisoblash metodini ishlab chikdi, sin(l/2)° ning qiymatini to`qqizta ishonchli raqam bilan berdi. Bundan tashqari, u tg funktsiyasidan foydalandi va uning qiymatlari jadvalini to`zdi. XV asrda Amir Temur saltanatining markazi - Samarqandda ilm-fan, madaniyat yuqori darajada rivojlandi. Shu paytda Ulug’bekning madrasayu rasadxonasi barpo etildi. Bu erda Ulug’bek bilan bir qatorda Ulug’bekning ustozi - zamonasining mashhur matematigi va astronomi Qozizoda Rumiy hamda G’iyosiddin Jamshid Koshiy, Mansur Koshiy, Muxammad Birjondiy va Ulugbekning shogirdi Ali Kushchilar madrasada daryo berib, rasadxonada yulduzlarni ko`zatish va ilmiy izlanishlar olib borishgan. Ayrim tadqiqotchilar Ulugbek madrasasi bilan rasadxonasini birgalikda Ulug’bek akademiyasi deyishsa, avstriyalik matematika tarixchisi X. Zemanek buni Hisoblash markazi (XM) deydi. U aytadiki, XM bo`lishi uchun ikkita shart: 1) olimlarning jamoa bo`lib birgalikda ishlashlari va 2) hisoblashning yuqori darajadagi aniqlikda olib borilishi zarur. Bu erda har ikkala shart bajariladi. Shunday qilib, jaxonda birinchi Hisoblash markazi (XM). Ulugbek raxbarligida Samarqandda barpo etildi. Hisoblash matematikasining tarixida logarifmik jadvallarining tuzilishi katta axamiyatga ega edi. Ingliz matematigi U. Neper (1614,1619), shveytsariyalik I. Byurgi (1620), ingliz Brige (1617), gollandiyalik Vlakk (1628) va boshqalar tomonidan yaratilgan logarifmik jadvallar buyuk frantsuz matematigi va mexanigi P.S. Laplasning so`zi bilan aytganda: "...hisoblashlarni soddalashtirib, astronomlarning umrini o`zaytirdi". Laplas hozirgi zamon kompyuterlarining ishlashini ko`rganda nima der ekan? 1845 yilda Adams va 1846 yilda Lever’elar hisoblashlar natijasida Neptun sayyorasining mavjudligi va fazodagi o`rnini oldindan aytishlari hisoblash matematikasining buyuk g’alabasi edi. Neptunni "qalam uchida topilgan sayyora" ham deyishadi. Tatbiqiy masalalarni sonli yechish matematiklar e`tiborini doim o`ziga tortar edi. Shuning uchun ham o`tgan zamonning buyuk matematiklari o`z tadqiqotlarida tabiat jarayonlarini o`rganish, ularning modellarini tuzish, modellarni tadqiq etish ishlarini birga qo`shib olib borishgan. Ular bu modellarni tekshirish uchun maxsus hisoblash metodlarini yaratishgan. Bu metodlarning ayrimlari N’yuton, Eyler, Lobachevskiy, Gauss, CHebishev, Ermit nomlari bilan bog’liqdir. Bu shundan dalolat beradiki, hisoblash metodlarini yaratish bilan o`z zamonasining buyuk matematiklari shug’ullanishgan.
1.1.M a s a l a n i n g q o ’ y i l i s h i. Bu bandda (4.1) Koshi masalasini yechish uchin qadami doimiy bo’lga to’rni kiritamiz va to’r ustida aniqlangan funksiyalarni orqali belgilaymiz.Biz bu yerda Koshi maslasining m-qadamli ayirmali metodlar bilan taqribiy yechimini ko’rib chiqamiz.Bu metodlar orasida keng ko’llaniladiganlari
(2) Munosabat bilan aniqlanadi, bu yerla a mi va b mi lar n ga bogliq bo’lmagan koeffisientlar. Bu metodlar chiziqli ayirmali metodlar yoki chiziqli-ayirmali sxemalar deyiladi.(2) tenglamaga ni oldin topilgan qiymatlar orqali ifodalanadigan rekurrent munosabatdek qarash kerak. Xisob n=m dan, ya'ni
tenglamadan boshlanadi. Bundan ko’ramizki, xisobni boshlash uchun m ta dastlabki qiymatlarni ko’rsatmok, kerak. Bu yerda
boshlangich shartdan topiladi, qolgan larni esa boshqa metodlar, masalan, Runge-Kutta metodi yordamida topish mumkin. Keyingi muloxazalarda , dastlabki qiymatlar berilgan, deb faraz qilamiz.
Agar b m = 0 bo’lsa, u xolda (2) metod oshkor yoki ekstrapolyasion deyiladi, bu xolda y
oshkor ravishda orqali ifodalanadi. Agar
bo’lsa, u xolda metod oshkormasyoki interpolyasion deyiladi. Bu yerda ,
chiziqli bo’lmagan tenglamadan topiladi, bunda . Odatda, dastlabki yakinlashish ni ga teng deb olib, bu tenglama Nyuton metodi bilan yechiladi. Xisoblash amaliyotida (2) ko’p qadamli metodlarning xususiy xoli bo’lgan Adams metodlari keng tarqalgandir. Bunda faqat
va ikki nuqtaga ko’ra approksimatsiya qilinadi, ya'ni . Shunday qilib, Adams metodlari
ko’rinishga ega. Agar b m0 = 0 bo’lsa. Adams metodlari ekstrapolyasion bo’lib, bo’lganda esa interpolyasiondir. Keyinchalik (2) ayirmali metodlarni o’rganishda a
va b
mi koeffisientlar tanlanishining approksimatsiyaning xatoligiga va turg’unlik hamda yaqinlashish masalasiga ta'sirini ko’rib chiqamiz.
1.2.Ko’p qadamli metodlardagi approksimatsiyaning xatoligi. Differensial tenglama yechimini approksimatsiyalashdagi xatolik yoki (2) ayirmali sxemaning bog’lanishsizligi deb (4) miqdorga aytiladi.
da
munosabat o’rinli bo’lsa, m-qadamli sxema [x 0 ,x
+ X] oralikda differensial masalani yechimda approksimatsiya qiladi deyiladi. Biz xozir a mi va b mi koeffitsientlarga bog’lik, ravishda da approksimatsiya tartibini aniqlaymiz. Faraz kilaylik, qaralayotgan funksiyalar kerakli silliqlikkaa ega bo’lsin. Endi va
ekanligini eslab , nuqtada Teylor formulasiga ko’ra ,
tengliklarga ega bo’lamiz. Bu ifodalarni (4) ga ko’yi quyidagini xosil qilamiz: , bu yerda
Qulaylik uchun quyidagi lemmada (5) deb olamiz. Lemma. Faraz qilaylik, u(x) ixtiyoriy silliq funksiya bo’lsin.,
(6) munosabatlar o’rinli bo’lishi, ya'ni (2) ayirmali sxema (1) tenglamani approksimatsiya qilishi uchun (7) tengliklarning bajarilishi zarur va yetarlidir. I s b o t i. Teylor formulasiga ko’ra
Bu ifodalarni (6) ning chap tomoniga qo’yib, quyidagilarga ega bo’lamiz: ,
Bu munosabatlar o’rinli bo’lishi uchun
yoki (5) ga ko’ra (8) Tengliklarning o’rinli bo’lishi zarur va yetarlidir. Endi
tengliklarni xisobga olsak, (4.7) tenglik, demak, lemmaning isboti kelib chiqadi. Agar (9) bo’lsa, u xolda
bo’ladi va (2) sxema r-tartibli approksimatsiyaga ega deyiladi. Osonlik bilan ko’rish mumkinki, agar u(x) funksiya r-darajali ko’pxad bo’lsa, u xolda (9) shartlar bajariladi va bo’ladi. Demak, bu xolda (2) ayirmali sxema barcha r-darajali ko’pxad uchun aniq, tenglikka aylanadi. Umid qilish mumkinki, u(x) ning yechimi r-darajali ko’pxadlar bilan yaxshi yaqinlashadigan (1) differensial tenglamalar uchun yetarlicha kichik bo’ladi. Shuni ta'qidlash kerakki, (9) shartlar
ushbu
. (10) 2m + 2 ta noma'lumli chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini tashkil etadi. Endi (8) ni e'tiborga olib, (10) ni boshqacha yozishimiz mumkin. Natijada ushbu 2m ta noma'lumli r ta tenglamalar sistemasiga ega bo’lamiz: (11) b m0 koeffitsient esa
formula yordamida topiladi. (10) sistema ortig’i bilan aniklangan bo’lmasligi uchun deb talab qilamiz. Bu talab shuni bildiradiki, m-qadamli ayirmali metodlar approksimasiyasining tar- tibi 2m dan oshmaydi. Shunday qilib, approksimatsiyaning erishishi mumkin bo’lgan eng yuqori tartibi oshkormas xol m-qadamli metodlar uchun 2m bo’lib, oshkor
xol uchun 2m-1 dir. Adams metodlarida bo’lganligi sababli r- tartibli approksimatsiya uchun (11) shartlar quyidagi ko’rinishga ega bo’ladi: (12) Bu sistemaning determinanti Vandermond determinanti bo’lib, i xar xil qiymat qabul qiladi, shuning uchun xam bu sistema ixtiyoriy m uchun yagona yechimga ega. Bundan ko’ramizki, Adamsning m-qadamli metodida approksimatsiyaning eng yuqori tartibi oshkormas xol uchun m+1 bo’lib, oshkor xol uchun m dir.
m-qadamli oshkor (13) metodi uchun approksimasiyasining eng yukori tartibi r=m. Noma'lum
koeffitsientlarni topish uchun (12) sistema bu xolda ushbu ko’rinishga ega:
Xar bir muayyan m uchun (12) sistemani yechib, larni topamiz. Agar m = 1 bo’lsa, u xolda Adams metodi ushbu
Eyler metodiga aylanadi. Adams mashhur ingliz artilleristi Boshfort iltimosiga ko’ra o’z metodlarini 1855 y. yaratgan edi. Bu metodlar keyinchalik unutilgan bo’lib, asrimizning boshida norvegiyalik matematik Shtyo’rmer tomonidan kayta ochildi. Osonlik bilan topish mumkinki, m = 2, 3, 4, 5 bo’lganda mos ravishda approksimatsiya tartibi m ga teng bo’lgan quyidagi metodlarga ega bo’lamiz: ; ; ; .
Amaliyotda Adams metodlari m = 1,2,... , 10 lar uchun ishlatiladi. Adams metodlarini surishda boshkacha yondashish ham mumkin. Faraz qilaylik, (15) taqribiy qiymatlar hisoblangan bo’lib, bo’lsin. Keyingi ni hisoblash uchun algebraik interpolyasiyalashdan foydalanamiz. Buning uchun ning ushbu (16) k +q + 1 ga nuqtalardagi qiymatlaridan foydalanib, (k +q) tartibli Lagranj interpolyasion ko’pxadini ko’ramiz :
(17) Bunda . Tugunlar bir xil uzoqlikda joylashganligi uchun
almashtirishni bajaramiz. U xolda
bunda
Bu xolda (17) ko’pxad quyidagi ko’rinishga ega bo’ladi: (18) Bu ko’pxaddan foydalanib, quyidagi tenglikni yozamiz: (19) bunda interpolyasiyaning qoldik xadi. Agar qaralayotgan soxada (k + q + 1) tartibli uzluksiz xususiy xosilalarga ega bo’lsa, u xolda qoldik xadni quyidagicha yozish mumkin:
(20) Bu ifodani biz oraliqda ishlatamiz. Shuning uchun, agar bo’lsa, va agar q = 0 bo’lsa, deb qaraymiz. Ushbu
ni (19) formulaning o’ng tomoni bilan almashtiramiz, u xolda quyidagiga ega bo’lamiz: (21) bunda
(22)
Bu yerda o’z ishorasini saqlaydi va uzluksiz bo’lganligi uchun qoldik xadni quyidagicha yozib olishimiz mumkin:
(23) bunda
agar bo’lsa va , agar bo’lsa.Xosil qilingan (21) formuladan xar xil ayirmali sxema va ular uchun qoldiqlarning ifodasini ko’rsatish mumkin. Bu metodlar bo’lganda interpolyasion deyiladi, xolga mos keladigan metod ekstrapolyasion deyiladi. Bunday atalishlarning sababi quyidagidan iborat:
interpolyasion ko’pxadni ko’rishda qatnashadigan, (10) tugunlarni o’z ichiga olgan eng kichik oraliq dir. Agar bo’lsa, qaralayotgan oraliq oraliqdan tashqarida yotadi; shuning uchun ham
oraliqda ekstrapolyasiya qilinadi; agar bo’lsa, oraliq oraliqni o’z ichiga oladi va bu yerda asl ma'noda interpolyasiya qilinadi. Avvalo, ekstrapolyasiya metodini ko’rib chiqamiz. bo’lgan xol uchun (4.21) formulani quyidagicha yozib olamiz: (24) bunda
va
bo’lib, bo’lganda u (22) formuladan aniqlanadi: (25) Qoldik had esa
bo’lganda (23) dan quyidagicha hisoblanadi: (26) Bu belgilashlarda (24) quyidagi ko’rinishga ega:
(27)
Bu formula hisoblash uchun yaroqsizdir, chunki unda noma'lum
qoldik, xad, izlanayotgan yechim xosilasining ushbu qiymatlari (28) va
qatnashadi. Agar yechimning
aniq qiymatlari ma'lum bo’lsa, u xolda (1) tenglamaga ko’ra (28) mikdorlarning anik kiymatini topishimiz mumkin edi:
Ammo bizga izlanayotgan yechimning fakat taqribiy qiymatlari ma'lum va bular orkali xosilaning taqribiy qiymatini topish mumkin: (29) Endi (27) formuladagi xosilalarni (29) taqribiy qiymatlari bilan, ni bilan almashtiramiz va qoldiq hadni tashlaymiz ,natijada quyidagi taqribiy tenglikka ega bo’lamiz: (30) Bu tenglikning o’ng tomonini deb olamiz, u holda (31)
kelib chikadi. Shunday qilib, biz yana (13) tenglikka keldik. Bundan ko’ramizki, koeffitsientlarni ikki xil usul bilan topishimiz mumkin: (14) sistemaning yechimi yoki (25) integralning qiymati sifatida. Misol uchun m = 5 bo’lganda b mj ning sonli qiymatini va R n,m ning ifodasini keltiramiz:
(32) Biz yuqorida (4.18) Lagranj interpolyasion formulasidan foydalanib, natijada (25), (26) formulalarni chiqardik. Shunga o’xshash Nyutonning ikkinchi interpolyasion formulasini qo’llab, (30) formula o’rniga funksiyaning tugun nuqtalaridagi qiymatlari emas, balki chekli ayirmalari qatnashadigan Adamsning ekstrapolyasion formulasini chiqarishimiz mumkin. Bu formula quyidagicha yoziladi:
(33) Bu yerda
esa funkisiyaning nuqtalardagi qiymatlari bo’yicha tuzilgan i-tartibli chekli ayirmasidir. (33) formulaning qoldik xadini quyidagicha yozish mumkin:
Endi (33) formulaning m = 4 bo’lgandagi xususiy holini qaraymiz: (34) Bu yerda n = 4 deb olamiz, u xolda (35) Xisoblashni (35) formula bilan bajarish uchun quyidagi jadvaldan foydalangan ma'qul: x y (35) formulaning o’ng tomonidagi barcha mikdorlar aniq bo’lib, jadvalning pastki qiya satrida joylashgan. Biz ni topamiz, demak, shu bilan xam aniqlanadi. Topilgan ga ko’ra ni xisoblaymiz va chekli ayirmalar jadvalini yana bir qiya satr bilan to’ldiramiz. Keyin (34) da deb olib, xisoblashni davom ettiramiz.
metodi
(36) formula bilan aniqlanib, ekanligini aytgan edik. Bu metod approksimasiyasining tartibi p = m + 1 bo’lib, koeffitsiyentlari p=m+1 bo’lganda (12) sistemadan , ya'ni sistemadan topiladi. Bundan m = 1 uchun approksimatsiya tartibi ikki bo’lgan metodni xosil qilamiz:
Bu metod trapetsiya metodi deb xam ataladi. Biz m = 2, 3,4, 5 bo’lganda mos ravishda ushbu p = m + 1 tartibli approksimatsiyaga ega bo’lgan metodlarni xosil qilamiz:
Yuqoridagi oshkormas metodlarda izlanayotgan chiziqli bo’lmagan ko’rinishda qatnashadi. Shuning uchun xam bu tenglamalardan ni topish uchun iteratsiya metodini qo’llash kerak. Masalan, to’rtinchi tartibli Adams metodi uchun iteratsion metod quyidagicha qo’llaniladi: (37) bu yerda s iteratsiya nomeri. Dastlabki yaqinlashish sifatida Adamsning uchinchi tartibli oshkor metodi yordamida topilgan yechimni olish mumkin, ya'ni
Agar bo’lsa, u xolda (34) iteratsion metod yakinlashuvchi bo’lishi uchun shart bajarilishi kerak, bu esa yetarlicha kichik h uchun doimo bajariladi. Agar (34) da faqat bitta iterasiya olsak, ya'ni s= 0 bo’lsa, u xolda prediktor-korrektor (bashoratchi-tuzatuvchi) metodi deb ataluvchi metodga ega bo’lamiz. Adams interpolyasion formulasini Lagranj interpolyasion ko’pxadi yordamida xosil qilishni ko’ramiz, buning uchun (21) formulada q = 1 deb olamiz. U xolda , (38) bu yerda
Endi (21) va (23) formulalarda q = 1, k =m -1 deb olib, quyidagi formulalarga ega bo’lamiz: (39)
(40) Biz (24) formuladan (31) formulani shunday chikargan bo’lsak, xuddi shunga o’xshash muloxazalar yuritib, (36) formuladan quyidagi formulani chikaramiz: (41) Bu esa (3) formula bilan ustma-ust tushadi. Endi (39) formula yordamida t = 0, 1, 2, 3, 4, 5 lar uchun (41) Adams interpolyasion formulasi koeffitsientlarini keltiramiz:
Adamsning ekstrapolyasion va interpolyasion metodlarini taqqoslaymiz. Buning uchun (31) formulani (42) formula bilan almashtish kerak , bu formula (41) formuladan m ni m-1 bilan almashtirish natijasida xosil bo’ladi, chunki bu formulalarni qurish uchun bir bir xil sondagi, ya’ni m ta nuqtalardan foydalaniladi.Jumladan , (31) formulani (43)
(42) formulada esa
(44) tugunlardan foydalanilgan Ma'lumki, funksiyani oraliqda (43) tugunlar yordamida qurilgan interpolyasion ko’pxad bilan yaqinlashtirishdan (44) tugunlar yordamida qurilgan ko’pxad bilan yaqinlashtirish aniqroqdir.Shu ma’noda Adamsning interpolyasion metodi ekstrapolyasion metodi nisbatan aniqroqdir.Buni ya’na xam yahshiroq anglash uchun (31) va (32) formulalarning qoldiq xadlarini uchun (26) va (40) formulalar yordamida topamiz ((40) formulada m ni m-1 bilan almashtirish kerak):
ning sonli koeffitsientlari nikiga nisbatan ancha kichikdir. Endi Adams interpolyasion formulasining boshqa ko’rinishini, ya'ni
chekli ayirmalarining qiymatlari qatnashadigan ko’rinishini keltiramiz, buning uchun Nyutonning ikkinchi interpolyasion formulasini (21) formulaga qo’yib, quyidagiga ega bo’lamiz: ,
(45) bu yerda
(45) formulaning qoldik xadini quyidagicha yozish mumkin:
Agar (33) formula bilan (45) formulani taqqoslasak, unda ko’rinib turibdiki, chekli ayirmalarning tartibi oshgan sari (45) formulada chekli ayirmalar oldidagi koeffitsientlar absolyut qiymatlari bilan (33) formuladagiga nisbatan tezroq kamayib boradi. Bunday xolda esa, o’z navbatida, (45) yoyilmadagi xadlar absolyut qiymati bilan (33) dagiga nisbatan tezrok kamayadi. Endi (45) formulaning m = 3 bo’lgandagi xususiy xolini qaraymiz: (46) Bu yerda n=5 deb olamiz, u xolda quyidagi xosil bo’ladi: (47) Xisoblashni (46), (47) formulalar bilan bajarish uchun quyidagi jadvaldan foydalangan ma'qul: x y Xisoblashni (45) formula yordamida olib borganda
noma'lum ayirmalarning dastlabki yasinlashishlari Adamsning ekstrapolyasion metodi yordamida xisoblanadi. Darxaqiqat, ni (33) formula yordamida xisoblash kerak. Bu esa ni topishga imkon beradi, natijada qolgan ayirmalarning dastlabki yakinlashishini topish mumkin bo’ladi. Dastlabki yakinlashishlarni topishning boshqacha usulini xam ko’rsatish mumkin. Buni (47) formula misolida ko’ramiz. Bu formulaning o’ng tomonida va jadvalning pog’onali siniq, chizig’ining pastida
(48) ayirmalar joylashgan bo’lib, ularning qiymatlari noma'lum.Bularni iteratsiya metodi bilan topish uchun ularning dastlabki yaqinlashishini ko’rsatish kerak. Agar h qadam to’g’ri tanlangan bo’lsa, u xolda oxirgi ma'noli raqamning bir necha birligi chegarasida
bo’ladi, shuning uchun ning dastlabki yaqinlashishi sifatida deb
olishimiz mumkin. Bu esa (48) ayirmalarning
(49) dastlabki yaqinlashishlarini quyidagi formulalar yordamida topishiga imkon beradi.
Endi (49) dastlabki yaqinlashishlarni (47) formulaga qo’yib, ni va
ni topamiz. Bundan keyin ni xisoblaymiz. Agar tenglik bajarilsa, u xolda deb olib,
ni xisoblashni tugatamiz. Agar bo’lsa, u xolda ga ko’ra (49) ayirmalarning yangi
(50) qiymatini ketma-ket quyidagi formulalar yordamida xisoblaymiz:
Topilgan (50) qiymatlarni (47) formulaga ko’yib, ni, demak, ni
topamiz. Agar bo’lsa, u xolda deb olamiz. Aks xolda iterasiyani davom ettiramiz. Tabiiyki, iterasiyani ko’p davom ettirishning foydasi yo’q. Qadam shunday tanlashi kerakki, bitta yoki ikkita iterasiya yetarli bo’lsin.
topilgandan keyin shu usul bilan va x.k.topiladi.
Mavzuga doir misol va dastur : , , [a,b]=[1..2], n=10.
uses crt; var x,y:array[0..10] of real; i:integer; h:real; Function f(a,b:real):real; begin f:=-y[i-1]*ln(x[i-1])*(1/(2*x[i-1])+4*y[i-1]/7); end; begin x[0]:=1; y[0]:=1; h:=0.1; for i:=1 to 4 do begin x[i]:=x[0]+i*h; y[i]:=y[i-1]-h*y[i-1]*ln(x[i-1])*(1/(2*x[i-1])+4*y[i-1]/7); writeln('y[',i,']=',y[i]); end; for i:=4 to 9 do begin x[i]:=x[0]+i*h; y[i+1]:=y[i]+h*(55*f(x[i],y[i])-59*f(x[i-1],y[i-1])+37*f(x[i-2],y[i-2])-9*f(x[i- 3],y[i-3]))/24; writeln('y[',i+1,']=',y[i+1]); end; end. Natija : y[1]=1
y[2]=0.990221423110985 y[3]=0.972483359672097 y[4]=0.948491572064974 y[5]=0.924499784457852 y[6]=0.895804595844566 y[7]=0.863506603237718 y[8]=0.828797264605481 y[9]=0.792711645333554 y[10]=0.756107903708511
Xulosa. Xulosa o’rnida shuni aytishim mumkinki hisoblash usullari fani bu matematikadagi taqribiy hisoblashlarni ham aniqlikda hisoblashga yordam beradi.
matematikasi qamragan masalalar turi juda ko’p. Tabiiyki, bu masalalarning yechish metodlari ham xilma-xildir, shu metodlardan biri Adamsning ektrapolyasion, interpolyasion yechish usullarini biz yuqorida ko’rib chiqdik. Men bu kurs ishimni tayyorlash davomida Adamsning usullari haqida bir qancha tushuncha va bilimlarga ega bo’ldim.
1. Isroilov M. «Hisoblash metodlari», T., "O`zbekiston", 2003 2. Shoxamidov Sh.Sh. «Amaliy matematika unsurlari», T., "O`zbekiston", 1997 3. Boyzoqov A., Qayumov Sh. «Hisoblash matematikasi asoslari», O`quv qo`llanma. Toshkent 2000. 4. Abduqodirov A.A. «Hisoblash matematikasi va programmalash», Toshkent. "O`qituvchi" 1989. 5. Vorob`eva G.N. i dr. «Praktikum po vichislitel’noy matematike» M. VSh. 1990. 6. Abduhamidov A., Xudoynazarov S. «Hisoblash usullaridan mashqlar va laboratoriya ishlari», T.1995. 7. Siddiqov A. «Sonli usullar va programmalashtirish», O`quv qo`llanma. T.2001. 8. Қобулов В.К. Функционал анализ ва ҳисоблаш математикаси. –Т.: “Ўқитувчи”. -1976й. 9. Исроилов М.И. Ҳисоблаш методлари. –Т.: “Ўзбекистон”. -2003й. 10. Шодиметов Х.М. Введение в теорию квадратурных формул. –Т.: Фан. -2005й. 11. Расулов И.Г., Хасанов Б., Самадова М. Составная кубатурная формула. 2009 12. www.ziyonet.uz 13. www.google.uz Document Outline
Download 134.43 Kb. Do'stlaringiz bilan baham: |
ma'muriyatiga murojaat qiling