Amaliy ish-4 Nyuton usuli (urinmalar usuli yoki chiziqlilashtirish usuli)

Amaliy ish-4
Nyuton usuli (urinmalar usuli yoki chiziqlilashtirish usuli).
Chiziqli bo‘lmagan tenglamalarni yechishning eng samarali usuli bu Nyuton usulidir. Bu usulning g‘oyasi asosida tadqiq qilinayotgan funksiyani undanda soddaroq bo‘lgan funksiyaga, ya’ni uni urinmaga almashtirishdan iborat. Geometrik nuqtai nazardan, dastla nuqta orqali funksiyaning egri chiziqli grafigiga urinma o‘tkaziladi va uning absissa o‘qi bilan kesishish nuqtasining absissasi topiladi .
funksiyaning egri chiziqli grafigiga nuqtasi orqali o‘tkazilgan urinma tenglamasi quyidagicha yoziladi:

Keyingi yaqinlashish urinmaning absissa o‘qi bilan kesishish nuqtasi bo‘lib, bu nuqta ushbu

formuladan topiladi. Bu jarayonni nuqtalar uchun xuddi shunday davom ettirib va ekanligini e’tiborga olib, ushbu ,

formulaga kelamiz, bunda [a,b] kesmada agar bo‘lsa va agar bo‘lsa.

Shakli o‘zgartirilgan formula:

Bu formuladan foydalanilganda yaqinlashish tezligi bir oz sustlashadi. Urinmalar usuli shartli yaqinlashuvchi usul bo‘lib, uning yaqinlashishi

lim uchun ( - ildizning izlanayotgan qiymat) ildiz izlanayotgan sohada quyidagi shart bajarilishi zarur:

Ixtiyoriy boshlang‘ich (nolinchi) yaqinlashishda iteratsiya yaqinlashuvchi bo‘ladi, agar yuqoridagi shart bajarilsa. Aks holda yaqinlashish ildizning biror atrofidagina bajariladi. Iteratsion jarayonning yaqinlanishi uchun quyidagi uchta kriteriyadan foydalanish mumkin:

Nyuton usulining geometrik talqini. 1) Iteratsiyalarning maksimal soni. Bu kriteriyadan usul yaqinlashmagan holda foydalanish lozim. Shunga qaramasdan talab qilingan aniqlikni qanoatlantiruvchi iteratsiyalar sonini oldindan aniqlash juda qiyin.
2) Ildizga yaqinlashishning kuchsiz variatsiyasi
yoki

3) Funksiyaning yetarlicha kichik qiymati

Nyuton usuli ikkinchi tartibli yaqinlashish tezligiga ega. Bu shuni bildiradiki, ildiz yaqinida xatolik quyidagi qonun bo‘yicha kamayib boradi:
1-misol

Yechilishi:
Ildizlarning taxminiy qiymatlarni grafik tarzda toping :Buning uchun tenglamani

Ko’rnishda ifodalash qulay rasmdagi garafikda ko’rnib turibdidiki[ tenglamaning bitta ildizi bor ; 0,5 ] Uni takrorlash usuli bilan aniqlashtirish uchun tenglamani

Ko’rnishga keltirmiz. funksiyasi munosabatidan izlanadi deb faraz qilsak.

Bu |k| >Q/2, bu yerda Q=max ; k [0;0,5] oralig’ida bilan bir xil belgiga ega. Biz topamiz


Q=max

k=2 deb olamiz
;
.
Dastlab yaqinlashish uchun deb olamiz, qolgan taxminlarni tenglikda aniqlaymiz
.
Hisoblash quydagi jadvalda

n
0 1 2 3 4 5	0 0,2614 0,2266 0,2309 0,2303 0,2304	3 3,5228 3,4532 3,4618 3,4606	0,4771 0,5469 0,5382 0,5394 0,5392	0,2386 0,2734 0,2691 0,2697 0,2696

Javob:( )

2-misol

Yechilishi:
Biz ildizlarni analitik tarizda ajratamiz topamiz


Keling jadval tuzamiz

		-1	0
	-	-	+	+

Tenglama [1,0] oraliqda yotgan haqiqiy ildizga ega. k=10

n
0 1 2 3 4 5	0 -0,3 -0,3693 -0,3785 -0,3795 -0,3796	0 0,09 0,1364 0,1433 0,1440	0 -0,027 -0,0504 -0,0542 -0,0546	-0,3 -0,3693 -0,3785 -0,3795 -0,3796

Javob:( )